Какое значение k делает уравнение 10x²+kx-7=0 имеющим корень -1/5?

Для решения этой задачи мы можем использовать факт о том, что если данное квадратное уравнение имеет корень \(x = a\), то \(x - a\) является его множителем.

Итак, у нас дано уравнение \(10x^2 + kx - 7 = 0\) и известно, что оно имеет корень \(-\frac{1}{5}\). Уравнение будет иметь корень \(-\frac{1}{5}\), если \(x + \frac{1}{5}\) является его множителем.

Теперь найдем \(k\), используя это знание.

Мы знаем, что множество всех множителей \(10x^2 + kx - 7\) будет выглядеть следующим образом: \((x + \frac{1}{5})(ax + b)\), где \(a\) и \(b\) являются коэффициентами предполагаемого множителя \(ax + b\).

Раскрывая скобки, получим:

\((x + \frac{1}{5})(ax + b) = ax^2 + (\frac{a}{5} + b)x + \frac{b}{5}\).

Сравнивая это с исходным уравнением \(10x^2 + kx - 7\), мы видим, что коэффициенты при \(x\) должны совпадать. Это означает, что:

\(\frac{a}{5} + b = k\) (1) и \(ax^2 + \frac{b}{5} = -7\) (2).

Решим уравнение (2) относительно \(a\):

\[ax^2 + \frac{b}{5} = -7 \Rightarrow a = -\frac{7}{x^2}\].

Подставляя это значение в уравнение (1), получим:

\(\frac{-7}{5x^2} + b = k\).

Известно, что \(x = -\frac{1}{5}\), поэтому:

\(\frac{-7}{5(-\frac{1}{5})^2} + b = k\),

\(\frac{-7}{5(\frac{1}{25})} + b = k\),

\(\frac{-7}{5} \cdot 25 + b = k\),

\(-7 \cdot 5 + b = k\),

\(-35 + b = k\).

Таким образом, значение \(k\), при котором уравнение \(10x^2 + kx - 7 = 0\) имеет корень \(-\frac{1}{5}\), равно \(-35 + b\).

Нам необходимо определить значение \(b\) для получения конкретного значения \(k\). Для этого мы можем воспользоваться фактом о том, что уравнение имеет корень \(-\frac{1}{5}\). Подставив \(x = -\frac{1}{5}\) в исходное уравнение \(10x^2 + kx - 7 = 0\), мы получим:

\(10 \cdot (-\frac{1}{5})^2 + k \cdot (-\frac{1}{5}) - 7 = 0\),

\(\frac{1}{25} \cdot 10 - \frac{k}{5} - 7 = 0\),

\(\frac{10}{25} - \frac{k}{5} - 7 = 0\),

\(\frac{2}{5} - \frac{k}{5} - 7 = 0\),

\(-\frac{k}{5} - \frac{33}{5} = 0\),

\(-k - 33 = 0\),

\(k = -33\).

Таким образом, значение \(k\), которое делает уравнение \(10x^2 + kx - 7 = 0\) имеющим корень \(-\frac{1}{5}\), равно \(-33\).