Какое значение имеет первообразная функции f(x)=6 cos 3x-12 sin 6x в точке x=pi/6, если она принимает значение

Чтобы найти первообразную функции \(f(x) = 6 \cos(3x) - 12 \sin(6x)\), нам необходимо проинтегрировать данную функцию по переменной \(x\). Затем, чтобы найти значение первообразной в точке \(x = \frac{\pi}{6}\), мы подставим это значение в полученную первообразную функцию и вычислим результат.

Давайте начнём с нахождения первообразной функции. Для этого используем известные интегралы функций \( \cos(ax) \) и \( \sin(ax) \), а также правило линейной комбинации производных. Таким образом, мы можем записать первообразную функцию следующим образом:

\[
F(x) = \int (6 \cos(3x) - 12 \sin(6x)) dx = 6 \int \cos(3x) dx - 12 \int \sin(6x) dx
\]

Интегрируя, мы получим:

\[
F(x) = 2 \sin(3x) + 2 \cos(6x) + C
\]

где \(C\) - произвольная постоянная, которая появляется при интегрировании.

Теперь мы можем найти значение первообразной функции в точке \(x = \frac{\pi}{6}\), используя полученную формулу. Подставим \(x = \frac{\pi}{6}\) в \(F(x)\):

\[
F\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + 2 \cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + C
\]

Сокращаем и упрощаем:

\[
F\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \cos\left(\pi\right) + C = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + C = 2 - 2 + C = C
\]

Таким образом, значение первообразной функции в точке \(x = \frac{\pi}{6}\) равно \(C\).

Мы также знаем, что данная функция принимает значение 4 в точке \(x = \frac{\pi}{2}\). Подставим это значение в \(F(x)\):

\[
F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + 2 \cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + C
\]

Сокращаем и упрощаем:

\[
F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 2 \cos\left(3\pi\right) + C = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + C = -2 + 2 + C = C
\]

Таким образом, значение первообразной функции в точке \(x = \frac{\pi}{2}\) также равно \(C\).

Следовательно, значение первообразной функции в точке \(x = \frac{\pi}{6}\), а также в точке \(x = \frac{\pi}{2}\) равно \(C\), что означает, что значение первообразной будет одинаково в этих точках.