Какое значение функции y=x√ наибольшее на отрезке [1; 4]? ответ: Какое значение y соответствует наибольшему

Чтобы найти наибольшее значение функции \(y = x\sqrt{x}\) на отрезке \([1; 4]\), нам понадобится проанализировать функцию и найти ее экстремумы.

Прежде всего, определим, где находятся крайние точки отрезка \([1; 4]\), то есть где функция может достичь своего максимального значения. Заметим, что на отрезке \([1; 4]\), функция \(y = x\sqrt{x}\) возрастает, так как производная функции \(\frac{dy}{dx}\) всегда положительна на этом интервале.

Для того, чтобы найти экстремумы функции, найдем ее производную. Вычислим производную функции \(y = x\sqrt{x}\):

\[y" = \frac{d}{dx} (x\sqrt{x})\]

Для нахождения производной этой функции применим правила дифференцирования. Используя правило производной произведения, получим:

\[y" = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}}\]

Теперь приравняем \(y"\) к нулю и решим уравнение для нахождения критических точек:

\[\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} = 0\]

Упростим это уравнение, умножив все части на \(2\sqrt{x}\):

\[2x + x = 0\]

\[3x = 0\]

Получаем, что \(x = 0\). Однако, мы исследуем функцию на отрезке \([1; 4]\), поэтому исключим эту точку из рассмотрения.

Таким образом, мы можем заключить, что функция \(y = x\sqrt{x}\) не имеет критических точек на отрезке \([1; 4]\) и, следовательно, достигает своего максимального значения в точке \(x = 4\).

Для нахождения этого значения, подставим \(x = 4\) в исходную функцию:

\[y = 4\sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8\]

Таким образом, наибольшее значение функции \(y = x\sqrt{x}\) на отрезке \([1; 4]\) равно 8.