Какое уравнение параболы описывает модель подвесного кабеля, который удерживает мост длиной 400 м и с опорами высотой

Для решения данной задачи, нам необходимо определить уравнение параболы, которая описывает модель подвесного кабеля моста.

Для начала, нам понадобятся две опоры моста высотой, скажем, \(h\) метров. Зафиксируем ось координат таким образом, чтобы она проходила через вершины опор и измеряла расстояние в метрах вдоль моста.

Таким образом, пусть точка \((0, 0)\) будет точкой перегиба параболы (вершина) и \(x\) будет представлять расстояние от начала координат до точки на мосту, а \(y\) - высоту над осью между точкой моста и подвесным кабелем.

На самом деле, уравнение параболы имеет вид:

\[y = ax^2 + bx + c,\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты, которые мы должны определить.

Используя информацию о двух опорах и точку перегиба, мы можем составить систему уравнений.

Первое уравнение проходит через точку перегиба \((0, 0)\), поэтому когда \(x = 0\), значение \(y\) также должно быть равно 0:

\[0 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c.\]

Это позволяет нам сразу найти значение \(c\), которое равно нулю.

Другое уравнение проходит через точку опоры \(A\) с координатами \((d, h)\), где \(d\) - расстояние этой опоры от начала моста. Подставляя данные в формулу параболы, получаем:

\[h = ad^2 + bd.\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} 0 = b \cdot 0 + c, \\ h = ad^2 + bd. \end{cases}\]

Решим эту систему уравнений относительно \(a\) и \(b\).

Из первого уравнения получаем, что \(c = 0\).

Подставив это во второе уравнение, получаем:

\[h = ad^2 + bd.\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(a\) и \(b\).

Мы знаем, что \(d\) равно половине длины моста, то есть \(d = \frac{400}{2} = 200\). Подставляем эту информацию:

\[h = a \cdot 200^2 + b \cdot 200.\]

Теперь нам нужно найти значения \(a\) и \(b\). Для этого мы можем использовать информацию о другой опоре.

Предположим, что другая опора находится на расстоянии \(x\) от начала моста. То есть, у нее координаты будут \((x, h)\).

Подставим эту информацию в уравнение параболы:

\[h = a \cdot x^2 + b \cdot x.\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными \(a\) и \(b\):

\[\begin{cases} h = a \cdot 200^2 + b \cdot 200, \\ h = a \cdot x^2 + b \cdot x. \end{cases}\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений относительно \(a\) и \(b\). Для этого вычтем второе уравнение из первого:

\[0 = a \cdot 200^2 + b \cdot 200 - (a \cdot x^2 + b \cdot x).\]

Упростив это уравнение, получаем:

\[0 = a \cdot (200^2 - x^2) + b \cdot (200 - x).\]

Поскольку эта формула должна быть верна для любых значений \(x\) и \(h\), то коэффициенты перед \(a\) и \(b\) при сравнивании должны быть равны нулю:

\[200^2 - x^2 = 0 \quad \text{и} \quad 200 - x = 0.\]

Из второго уравнения получаем, что \(x = 200\). Тогда из первого уравнения получаем, что \(x^2 = 200^2 = 40000\).

Теперь мы можем найти значения \(a\) и \(b\):

\[a = \frac{h}{40000} \quad \text{и} \quad b = \frac{h}{200}.\]

Таким образом, уравнение параболы, описывающее модель подвесного кабеля моста, будет иметь вид:

\[y = \frac{h}{40000} \cdot x^2 + \frac{h}{200} \cdot x.\]

Рекомендую упростить это уравнение, вынести общий множитель в показателях \(x\):

\[y = \frac{h}{40000} \cdot x \cdot (x + 200).\]

Таким образом, данное уравнение параболы описывает модель подвесного кабеля моста длиной 400 м и с опорами высотой \(h\) метров.