Каков промежуток убывания функции f(x) = -x2 - 6x - 5, опираясь на ее график? Какое множество является решением

Для начала, давайте построим график функции \(f(x) = -x^2 - 6x - 5\) и исследуем его.

Функция \(f(x) = -x^2 - 6x - 5\) является параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный.

Чтобы найти вершину параболы, воспользуемся формулой для координаты x-координаты вершины параболы:
\[x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a}\]

Здесь a = -1, b = -6 и c = -5. Подставляя эти значения в формулу, получаем:
\[x_{\text{вершины}} = -\frac{(-6)}{2(-1)} = -\frac{-6}{-2} = -\frac{6}{2} = 3\]

Теперь найдем y-координату вершины, подставив значение \(x_{\text{вершины}}\) в исходную функцию:
\[f(3) = -3^2 - 6 \times 3 - 5 = -9 - 18 - 5 = -32\]

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (3, -32).

Теперь мы можем определить промежуток убывания функции. Функция \(f(x) = -x^2 - 6x - 5\) убывает на интервалах, где y-значение (высота) функции уменьшается по мере увеличения x-значения (горизонталь).

Исходя из формы параболы и координат вершины, мы можем заключить, что функция \(f(x) = -x^2 - 6x - 5\) убывает на всей числовой прямой.

Относительно множества решений неравенства \(-x^2 - 6x < k\), где k - любое число, мы должны определить значения x, при которых левая часть неравенства меньше k.

Давайте сначала решим уравнение \(-x^2 - 6x = k\) для определения точек пересечения графика функции с горизонтальной прямой y = k.

Подставляя \(k\) вместо \(f(x)\), получим уравнение \(-x^2 - 6x - 5 = k\).

Приведем уравнение к каноническому виду:
\(-x^2 - 6x - (5+k) = 0\)

Для нахождения корней этого квадратного уравнения мы можем воспользоваться формулой дискриминанта. Дискриминант \(D\) для данного квадратного уравнения равен:

\[D = b^2 - 4ac\]

Здесь \(a = -1\), \(b = -6\) и \(c = -(5+k)\). Подставляем значения и вычисляем:
\[D = (-6)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-(5+k)) = 36 + 4(5+k) = 36 + 20 + 4k = 56 + 4k\]

Теперь, используя полученное значение дискриминанта \(D = 56 + 4k\), мы можем проанализировать три возможных случая:

1. Если \(D > 0\), то квадратное уравнение имеет два корня и график функции \(f(x) = -x^2 - 6x - 5\) пересекает горизонтальную прямую y = k в двух точках.

2. Если \(D = 0\), то квадратное уравнение имеет один корень и график функции \(f(x) = -x^2 - 6x - 5\) касается горизонтальной прямой y = k в одной точке.

3. Если \(D < 0\), то квадратное уравнение не имеет корней и график функции \(f(x) = -x^2 - 6x - 5\) не пересекает горизонтальную прямую y = k.

Теперь я предложу проанализировать каждый из этих случаев отдельно, начинаю с первого случая. Если \(D > 0\), то квадратное уравнение имеет два корня и график функции \(f(x) = -x^2 - 6x - 5\) пересекает горизонтальную прямую y = k в двух точках.

Для того чтобы найти значения x, при которых \(f(x) < k\), необходимо рассмотреть интервалы между корнями квадратного уравнения. Корни могут быть найдены с помощью формулы:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставив значения \(a = -1\), \(b = -6\), \(c = -(5+k)\) и \(D = 56 + 4k\), получаем:
\[x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{56 + 4k}}{2 \cdot (-1)} = \frac{6 \pm \sqrt{56 + 4k}}{-2} = -3 \pm \frac{\sqrt{56 + 4k}}{2}\]

Таким образом, интервалы, на которых \(f(x) < k\), соответствуют двум участкам числовой прямой между корнями \(x_{1}\) и \(x_{2}\).

Если \(D = 0\), то у нас есть один корень квадратного уравнения, и график функции \(f(x) = -x^2 - 6x - 5\) касается горизонтальной прямой y = k в точке пересечения.

Если \(D < 0\), то у нас нет корней квадратного уравнения, и график функции \(f(x) = -x^2 - 6x - 5\) не пересекает горизонтальную прямую y = k.

Таким образом, множество решений неравенства \(-x^2 - 6x < k\) зависит от значения \(k\) и может быть представлено в виде интервалов на числовой прямой.