Какое расстояние от начала координат при t=1c достигнет частица, если она начинает свое движение из точки

Для того чтобы решить данную задачу, нам необходимо найти зависимость радиус-вектора частицы от времени. Затем мы сможем вычислить расстояние от начала координат, когда время \(t\) равно 1 секунде.

Для вычисления радиус-вектора \(r\) частицы от времени \(t\), мы должны проинтегрировать выражение для скорости \(v(t)\). Зная, что \(v(t) = i \cdot A \frac{t}{T} + j \cdot B \left(\frac{t}{T}\right)^2\), где \(A = 3 \, \text{м/с}\), \(B = 4 \, \text{м/с}\), \(T = 1 \, \text{с}\), а \(i\), \(j\) и \(k\) — единичные орты, получим:

\[
r(t) = \int{v(t) \, dt} = \int{(i \cdot A \frac{t}{T} + j \cdot B \left(\frac{t}{T}\right)^2) \, dt}
\]

Подставляя значения \(A = 3 \, \text{м/с}\) и \(B = 4 \, \text{м/с}\), получим:

\[
r(t) = \int{(i \cdot 3 \frac{t}{1} + j \cdot 4 \left(\frac{t}{1}\right)^2) \, dt}
\]

Проинтегрируем каждое слагаемое отдельно:

\[
r(t) = \int{i \cdot 3 \cdot t \, dt} + \int{j \cdot 4 \cdot \left(\frac{t}{1}\right)^2 \, dt}
\]

\[
r(t) = 3 \int{i \cdot t \, dt} + 4 \int{j \cdot t^2 \, dt}
\]

Интегрируя, получим:

\[
r(t) = 3 i \cdot \frac{t^2}{2} + 4 j \cdot \frac{t^3}{3} + C
\]

где \(C\) — постоянный член интегрирования. В данной задаче он не имеет значения, так как мы ищем только расстояние от начала координат.

Теперь подставим \(t = 1 \, \text{с}\) в полученное уравнение, чтобы найти радиус-вектор частицы:

\[
r(1) = 3 i \cdot \frac{1^2}{2} + 4 j \cdot \frac{1^3}{3} = 3 i \cdot \frac{1}{2} + 4 j \cdot \frac{1}{3}
\]

Выполняя необходимые вычисления, получаем:

\[
r(1) = \frac{3}{2} i + \frac{4}{3} j
\]

Таким образом, радиус-вектор частицы в момент времени \(t = 1 \, \text{с}\) составляет \(\frac{3}{2}\) по оси \(x\) (в направлении \(i\)) и \(\frac{4}{3}\) по оси \(y\) (в направлении \(j\)).

Чтобы найти расстояние от начала координат до этой точки, мы можем использовать теорему Пифагора, применив катеты \(\frac{3}{2}\) и \(\frac{4}{3}\):

\[
\text{расстояние} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2}
\]

Рассчитываем значение:

\[
\text{расстояние} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{16}{9}}
\]

\[
\text{расстояние} = \sqrt{\frac{81}{36} + \frac{64}{36}}
\]

\[
\text{расстояние} = \sqrt{\frac{145}{36}}
\]

\[
\text{расстояние} \approx 2.094 \, \text{м}
\]

Таким образом, расстояние от начала координат до частицы, когда время \(t = 1 \, \text{с}\), составляет приблизительно \(2.094 \, \text{м}\).