Какое минимальное значение принимает функция: y=15x-15ln(x+11)+4?

Чтобы найти минимальное значение функции \(y = 15x - 15\ln(x + 11) + 4\), мы можем использовать производные. Найдем производную функции по переменной \(x\). Затем найдем точку, где производная равна нулю, чтобы найти экстремум функции, и проверим, является ли этот экстремум минимальным.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Для этого используем правила дифференцирования функций.

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(15x) - \frac{d}{dx}(15\ln(x + 11)) + \frac{d}{dx}(4)
\]

Первое слагаемое \(\frac{d}{dx}(15x)\) равно 15, так как производная постоянного множителя равна нулю.

Второе слагаемое \(\frac{d}{dx}(15\ln(x + 11))\) требует некоторых шагов для дифференцирования:

Мы используем правило дифференцирования для \(\ln(u)\):

\[
\frac{d}{dx}(\ln(u)) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}
\]

В нашем случае \(u = x + 11\), поэтому:

\[
\frac{d}{dx}(15\ln(x + 11)) = \frac{15}{x + 11} \cdot \frac{d}{dx}(x + 11) = \frac{15}{x + 11} \cdot 1 = \frac{15}{x + 11}
\]

Третье слагаемое \(\frac{d}{dx}(4)\) равно нулю, так как производная константы равна нулю.

Таким образом, производная функции \(y\) будет:

\[
\frac{dy}{dx} = 15 - \frac{15}{x + 11}
\]

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю. Решим уравнение:

\[
\frac{dy}{dx} = 0
\]

\[
15 - \frac{15}{x + 11} = 0
\]

Перенесем \(\frac{15}{x + 11}\) на другую сторону уравнения:

\[
15 = \frac{15}{x + 11}
\]

Умножим обе части уравнения на \((x + 11)\):

\[
15(x + 11) = 15
\]

Раскроем скобки:

\[
15x + 165 = 15
\]

Перенесем 15 на другую сторону уравнения:

\[
15x = 15 - 165
\]

\[
15x = -150
\]

Разделим обе части уравнения на 15:

\[
x = -10
\]

Таким образом, единственная точка, где производная равна нулю, будет \(x = -10\).

Шаг 3: Чтобы убедиться, что этот экстремум минимальный, проверим знак производной до и после этой точки.

Выберем произвольную точку до \(x = -10\), например, \(x = -100\), и рассмотрим знак производной в этой точке:

\[
\frac{dy}{dx} = 15 - \frac{15}{x + 11}
\]

\[
\frac{dy}{dx} = 15 - \frac{15}{-100 + 11}
\]

\[
\frac{dy}{dx} = 15 - \frac{15}{-89}
\]

Так как \(-89\) является отрицательным числом, дробь \(\frac{15}{-89}\) также будет отрицательной.

Поэтому, перед \(x = -10\) производная отрицательна.

Теперь рассмотрим выбранную точку после \(x = -10\), например, \(x = 0\), и посчитаем знак производной:

\[
\frac{dy}{dx} = 15 - \frac{15}{x + 11}
\]

\[
\frac{dy}{dx} = 15 - \frac{15}{0 + 11}
\]

\[
\frac{dy}{dx} = 15 - \frac{15}{11}
\]

Так как \(\frac{15}{11}\) является положительным числом, разность \(15 - \frac{15}{11}\) также будет положительной.

Следовательно, после \(x = -10\) производная положительна.

Исходя из этих результатов, мы можем заключить, что функция \(y = 15x - 15\ln(x + 11) + 4\) имеет минимальное значение при \(x = -10\).

Чтобы найти это минимальное значение, мы можем подставить \(x = -10\) в исходную функцию:

\[
y = 15(-10) - 15\ln((-10) + 11) + 4
\]

\[
y = -150 - 15\ln(1) + 4
\]

Так как натуральный логарифм от 1 равен 0, получаем:

\[
y = -150 - 15(0) + 4
\]

\[
y = -150 + 4
\]

\[
y = -146
\]

Минимальное значение функции \(y = 15x - 15\ln(x + 11) + 4\) равно -146 при \(x = -10\).