Какова возможность того, что Российская команда не попадает в одну из пяти групп (A, B, C, D или E), когда в чемпионате

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику. Помните, что общее количество возможностей будет равно количеству способов разместить 20 команд по 5 группам.

Сначала давайте найдем общее количество возможных комбинаций. Мы можем использовать формулу сочетаний, чтобы найти это число. Формула сочетаний для размещения \(n\) элементов по \(k\) уникальным ящикам или группам выглядит следующим образом:

\[{n \choose k} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

В нашем случае, у нас есть 20 команд, и мы должны разместить их по 5 группам, поэтому \(n = 20\) и \(k = 5\). Подставив значения в формулу сочетаний, мы получаем:

\[{20 \choose 5} = \frac{{20!}}{{5! \cdot (20-5)!}}\]

\[{20 \choose 5} = \frac{{20!}}{{5! \cdot 15!}}\]

Теперь давайте найдем количество способов, которыми Российская команда не попадает ни в одну из пяти групп. Мы можем рассмотреть это как количество способов разместить оставшиеся 19 команд в оставшиеся 4 группы (так как 1 группа уже занята Российской командой).

Используя аналогичную формулу сочетаний, но с \(n = 19\) и \(k = 4\), мы получаем:

\[{19 \choose 4} = \frac{{19!}}{{4! \cdot (19-4)!}}\]

\[{19 \choose 4} = \frac{{19!}}{{4! \cdot 15!}}\]

Итак, вероятность того, что Российская команда не попадает в одну из пяти групп, равна отношению количества способов, когда Российская команда не попадает в группы, ко всем возможным комбинациям:

Вероятность = \(\frac{{19!}}{{4! \cdot 15!}} \div \frac{{20!}}{{5! \cdot 15!}}\)

Сокращая общие факториалы у числителя и знаменателя, получаем:

Вероятность = \(\frac{{19! \cdot 5!}}{{4! \cdot 20!}}\)

Дальше мы можем сократить дополнительно:

Вероятность = \(\frac{{5}}{{20}}\)

Итак, вероятность того, что Российская команда не попадает в одну из пяти групп, составляет \(\frac{{1}}{{4}}\) или 25%.