Какое минимальное количество различных чисел могло быть записано на доске, если каждое из 57 различных целых чисел было

Чтобы решить эту задачу, мы должны понять, сколько различных чисел может быть записано, когда каждое из 57 различных целых чисел возводится либо в квадрат, либо в куб. Давайте разберемся.

Для начала, рассмотрим определение квадрата и куба числа. Если число \(x\) возводится в квадрат, то результатом будет \(x^2\). Если же число \(x\) возводится в куб, то результатом будет \(x^3\).

Теперь представьте, что у нас есть некоторое число \(n\), которое может быть записано или в виде квадрата, или в виде куба. Поскольку мы хотим минимизировать количество разных чисел, то мы будем использовать наименьшие возможные числа. Таким образом, мы должны выбрать числа таким образом, чтобы \(n\), \(n^2\) и \(n^3\) были различными числами.

Допустим, у нас есть два разных числа \(n\) и \(m\), такие что \(n^2 = m^3\). В этом случае мы нашли два разных числа, которые дают одинаковый результат при возведении в квадрат и в куб. Но это противоречит условию, что у нас должно быть максимально возможное количество различных чисел на доске. Поэтому мы можем заключить, что для каждого различного числа \(n\) его возведения в квадрат и в куб также будут различными числами.

Таким образом, мы можем записать на доске минимум 57 различных чисел, каждое из которых возведено в квадрат или в куб. Итак, минимальное количество различных чисел, которое может быть записано на доске, равно 57.