Какое максимальное значение имеет данное выражение, если известно, что а> 0, в> 0 и 2а + 3в=12?

Чтобы найти максимальное значение данного выражения, нам необходимо использовать информацию о некоторых ограничениях на переменные \(a\) и \(b\). В данной задаче, дано, что \(a > 0\) и \(b > 0\), что означает, что оба числа положительные. Кроме того, у нас есть ограничение \(2a + 3b = 12\).

Для решения данной задачи, мы можем использовать метод подстановки. Раскроем выражение \(2a + 3b = 12\) относительно \(b\):

\[3b = 12 - 2a\]

\[b = \frac{{12 - 2a}}{3}\]

Теперь мы можем подставить полученное значение \(b\) в наше выражение:

\[f(a) = a \cdot b = a \cdot \frac{{12 - 2a}}{3}\]

Мы хотим найти максимальное значение этой функции \(f(a)\) при условии, что \(a > 0\) и \(b > 0\).

Для нахождения максимального значения функции, нам необходимо проанализировать её поведение. Заметим, что функция \(f(a)\) является квадратичной функцией с отрицательным коэффициентом при старшем члене. Такие функции имеют вершину в точке, у которой координаты \(x\) и \(y\) удовлетворяют уравнению \(x = -\frac{b}{2a}\).

В нашем случае, у нас есть \(f(a) = a \cdot \frac{{12 - 2a}}{3}\), поэтому координаты вершины функции будут \(a = -\frac{b}{2 \cdot \frac{12 - 2a}{3}}\). Давайте найдем \(a\), соответствующее данной вершине.

\[a = -\frac{b}{2 \cdot \frac{12 - 2a}{3}}\]

Распишем данное уравнение:

\[a = -\frac{b}{2} \cdot \frac{3}{12 - 2a}\]

Умножим обе части на \((12 - 2a)\):

\[a(12 - 2a) = -\frac{b}{2} \cdot 3\]

\[12a - 2a^2 = -\frac{3b}{2}\]

\[2a^2 - 12a + 3b = 0\]

Для нахождения координат \(a\) и \(b\) вершины, мы можем использовать формулу для координат вершины квадратичной функции: \(a_v = -\frac{b}{2a}\).

В нашем случае, \(a_v = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = 3\).

Теперь, чтобы найти соответствующие координаты \(b\) вершины функции, мы можем подставить \(a_v\) в уравнение \(3b = 12 - 2a\):

\[3b = 12 - 2 \cdot 3\]

\[3b = 6\]

\[b = 2\]

Итак, координаты вершины функции \(f(a)\) - это \(a_v = 3\) и \(b_v = 2\).

Мы установили, что функция \(f(a)\) достигает своего максимального значения при \(a = 3\) и \(b = 2\).

Подставляя найденные значения \(a\) и \(b\) в наше выражение:

\[f(a) = a \cdot b = 3 \cdot 2 = 6\]

Таким образом, максимальное значение данного выражения равно 6 при условии \(a = 3\) и \(b = 2\).