Сколько существует способов выбрать 5 человек из архитектурного бюро, состоящего из 10 архитекторов и одного

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать комбинаторику и применить формулу для нахождения количества сочетаний. Формула для количества сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) элементов выглядит следующим образом:

\[{C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}}\]

Где \(n!\) - факториал числа \(n\), а именно произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

Согласно условию задачи, у нас есть 10 архитекторов и 1 руководитель, и мы должны выбрать 5 человек. Таким образом, значение \(n\) будет равно 11 (10 архитекторов + 1 руководитель), а значение \(k\) будет равно 5.

Подставляя данные в формулу комбинаторики, получаем:

\[{C(11, 5) = \frac{{11!}}{{5! \cdot (11 - 5)!}}}\]

Очередной шаг - расчет факториалов в числителе и знаменателе выражения:

\[{C(11, 5) = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{5! \cdot 6!}}}\]

Факториалы \(5!\) в числителе и знаменателе сокращаются:

\[{C(11, 5) = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{6!}}}\]

\(6!\) равно \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\), что также можно сократить:

\[{C(11, 5) = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}}\]

Теперь можем привести числители и знаменатель к сокращенному виду:

\[{C(11, 5) = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}} = \frac{{11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}}{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Далее, мы можем произвести сокращения:

\[{C(11, 5) = 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10\]

\[{C(11, 5) = 55440}\]

Таким образом, существует 55440 способов выбрать 5 человек из архитектурного бюро для участия в конкурсе.