Какое двузначное число имеет разницу между суммой квадратов его цифр и 11, и превышает удвоенное произведение этих

Давайте разберем задачу пошагово.

Пусть двузначное число представляет собой число десятков \(x\) и число единиц \(y\). Тогда число можно записать в виде \(10x + y\).

Первое условие задачи говорит о разнице между суммой квадратов цифр числа и числом 11:

\[(x^2 + y^2) - 11\]

Второе условие задачи говорит о том, что разница должна превышать удвоенное произведение цифр:

\[(x^2 + y^2) - 11 > 2xy\]

Теперь у нас есть система неравенств. Давайте решим ее.

\[
\begin{align*}
(x^2 + y^2) - 11 &> 2xy \\
x^2 + y^2 &> 2xy + 11
\end{align*}
\]

Чтобы упростить неравенство, давайте перенесем все в одну сторону:

\[
x^2 - 2xy + y^2 > 11
\]

Мы можем факторизовать левую часть как квадрат разности:

\[
(x-y)^2 > 11
\]

Теперь рассмотрим возможные значения разности \((x-y)^2\). Возможные разности двузначных чисел можно выразить так:

\[
\begin{align*}
9^2 &= 81 \\
8^2 &= 64 \\
7^2 &= 49 \\
6^2 &= 36 \\
5^2 &= 25 \\
4^2 &= 16 \\
3^2 &= 09 \\
2^2 &= 04 \\
1^2 &= 01 \\
0^2 &= 00 \\
\end{align*}
\]

Видим, что наибольшее значение \((x-y)^2\), которое меньше 11, равно 9. Теперь нам необходимо выбрать двузначное число, у которого разность квадратов цифр равна 9.

Из возможных значений разности квадратов цифр мы замечаем, что 3 и 6 не могут быть цифрами разности, так как их разность равна |3-6|=3, что меньше 9. Таким образом, разность квадратов должна быть либо 9, либо 4.

Рассмотрим варианты:

1) Если \((x-y)^2 = 9\), то возможны два случая:
a) \(x-y = 3\) (или \(x = y+3\))
b) \(x-y = -3\) (или \(x = y-3\))

2) Если \((x-y)^2 = 4\), то также возможны два случая:
a) \(x-y = 2\) (или \(x = y+2\))
b) \(x-y = -2\) (или \(x = y-2\))

Теперь мы можем перейти к выражению числа в виде \(10x+y\) и найти числа, которые соответствуют каждому случаю:

1) a) \(x = y+3\)
Возможные числа: 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79, 80, 91

Проверка для числа 13:
\((1^2 + 3^2) - 11 = 9 - 11 = -2 < 2 \cdot 1 \cdot 3 = 6\)

Мы видим, что число 13 не подходит, так как не удовлетворяет условию.

1) b) \(x = y-3\)
Возможные числа: 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 08, 19

Проверка для числа 31:
\((3^2 + 1^2) - 11 = 9 - 11 = -2 < 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6\)

Мы видим, что число 31 не подходит, так как не удовлетворяет условию.

2) a) \(x = y+2\)
Возможные числа: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 90

Проверка для числа 12:
\((1^2 + 2^2) - 11 = 5 - 11 = -6 < 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4\)

Мы видим, что число 12 не подходит, так как не удовлетворяет условию.

2) b) \(x = y-2\)
Возможные числа: 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98, 09

Проверка для числа 21:
\((2^2 + 1^2) - 11 = 4 - 11 = -7 < 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4\)

Мы видим, что число 21 не подходит, так как не удовлетворяет условию.

Таким образом, мы видим, что нет двузначного числа, удовлетворяющего обоим условиям задачи.

Ответ: Нет такого двузначного числа.