Каким образом можно выразить вектор MN−→− через векторы x→, y→ и z→ в четырёхугольнике KLMN?

Чтобы выразить вектор \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\) и \(\overrightarrow{z}\) в четырехугольнике KLMN, можно воспользоваться теоремой параллелограмма и правилом сложения векторов.

Теорема параллелограмма гласит, что сумма двух векторов, направленных из вершины параллелограмма в его противоположные вершины, равна диагонали этого параллелограмма. Таким образом, мы можем записать:

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LM}\)

Далее, векторы \(\overrightarrow{KL}\) и \(\overrightarrow{LM}\) могут быть выражены через заданные векторы \(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\) и \(\overrightarrow{z}\) с помощью правила сложения векторов.

\(\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KM} + \overrightarrow{ML}\)

\(\overrightarrow{KM} = -\overrightarrow{MK}\) (обратный вектор \(\overrightarrow{MK}\))

\(\overrightarrow{ML} = -\overrightarrow{LM}\) (обратный вектор \(\overrightarrow{LM}\))

Затем, воспользуемся правилом сложения векторов:

\(\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}\)

\(\overrightarrow{ML} = \overrightarrow{z}\)

Теперь мы можем подставить эти выражения в формулу для \(\overrightarrow{KL}\):

\(\overrightarrow{KL} = (\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}) + (-\overrightarrow{z})\)

Производя необходимые операции, получим:

\(\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} - \overrightarrow{z}\)

Наконец, суммируем \(\overrightarrow{KL}\) и \(\overrightarrow{LM}\), чтобы найти \(\overrightarrow{MN}\):

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LM}\)

\(\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} - \overrightarrow{z}) + (-\overrightarrow{LM})\)

Производя операции, получим:

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} - \overrightarrow{z} - \overrightarrow{LM}\)

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{MN}\) можно выразить через заданные векторы \(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\) и \(\overrightarrow{z}\) в четырехугольнике KLMN:

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} - \overrightarrow{z} - \overrightarrow{LM}\)