Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды с квадратным основанием, сторона которого равна

Для решения данной задачи нам необходимо знать формулу для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадь боковой поверхности \( S_{\text{пирамиды}}\) правильной пирамиды с квадратным основанием равна половине произведения периметра основания \( P_{\text{осн}}\) на апофему пирамиды \( a_{\text{апоф}}\).

\[ S_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot a_{\text{апоф}} \]

В данной задаче основание пирамиды представляет собой квадрат со стороной величиной 10. Значит, периметр основания вычисляется по формуле:

\[ P_{\text{осн}} = 4 \cdot a_{\text{стор}} \]

Где \( a_{\text{стор}}\) - длина стороны основания.

Так как сторона основания равна 10, периметр основания составит:

\[ P_{\text{осн}} = 4 \cdot 10 = 40 \]

Теперь необходимо вычислить апофему пирамиды. Апофема - это расстояние от центра основания пирамиды до одной из сторон.

Чтобы найти апофему, мы можем использовать теорему Пифагора. Заметим, что апофема, высота пирамиды и одна из боковых граней пирамиды образуют прямоугольный треугольник.

Так как пирамида - правильная, то этот треугольник является равнобедренным. Значит, его основание можно разделить на два равных треугольника, каждый из которых также является равнобедренным.

Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника, в каждом из которых катеты равны половине стороны основания, то есть \(5\).

По теореме Пифагора, мы можем вычислить длину апофемы \(a_{\text{апоф}}\) по формуле:

\[ a_{\text{апоф}} = \sqrt{a_{\text{стор}}^2 + a_{\text{выс}}^2} \]

Где \(a_{\text{апоф}}\) - апофема, \(a_{\text{стор}}\) - половина стороны основания, \(a_{\text{выс}}\) - высота пирамиды.

Так как \(a_{\text{стор}} = 5\) и \(a_{\text{выс}} = a_{\text{апофемы}}\), мы можем вычислить значение апофемы:

\[ a_{\text{апоф}} = \sqrt{5^2 + a_{\text{апоф}}^2} \]

Перенесем все в одну сторону уравнения:

\[ a_{\text{апоф}}^2 - a_{\text{апоф}} - 25 = 0 \]

Получившееся квадратное уравнение необходимо решить с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае, уравнение имеет вид:

\[ a_{\text{апоф}}^2 - a_{\text{апоф}} - 25 = 0 \]

Где: \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -25\)

Вычислим дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 1 + 100 = 101 \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два вещественных корня:

\[ a_{\text{апоф}} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \text{ или } a_{\text{апоф}} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ a_{\text{апоф}} = \frac{1 + \sqrt{101}}{2} \text{ или } a_{\text{апоф}} = \frac{1 - \sqrt{101}}{2} \]

Так как апофема не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:

\[ a_{\text{апоф}} = \frac{1 + \sqrt{101}}{2} \approx 5.73 \]

Теперь, имея значения периметра основания \( P_{\text{осн}} = 40 \) и апофемы пирамиды \( a_{\text{апоф}} \approx 5.73 \), мы можем найти площадь боковой поверхности \( S_{\text{пирамиды}} \) по формуле:

\[ S_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot a_{\text{апоф}} \]

Подставим значения:

\[ S_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 5.73 = 20 \cdot 5.73 = 114.6 \]

Ответ: площадь боковой поверхности правильной пирамиды с квадратным основанием, сторона которого равна 10, при известной апофеме примерно равна 114.6.