Каким образом можно представить выражение 16⋅x2−40⋅x⋅y+25⋅y2 в виде произведения двух идентичных множителей?

Чтобы представить выражение \(16 \cdot x^2 - 40 \cdot x \cdot y + 25 \cdot y^2\) в виде произведения двух идентичных множителей, мы можем использовать метод разности квадратов.

Выражение, в котором содержатся разности квадратов, можно представить в виде произведения двух множителей, где каждый множитель является квадратным корнем из исходного выражения.

Для начала, давайте разложим каждый член выражения по отдельности:

\(16 \cdot x^2\) может быть представлено как \((4 \cdot x)^2\).
\(25 \cdot y^2\) может быть представлено как \((5 \cdot y)^2\).

Теперь посмотрим на второй член выражения: \(-40 \cdot x \cdot y\). Мы видим, что это два умножения и также содержит \(x\) и \(y\), но в отличие от первого и третьего члена, он не является разностью квадратов.

Однако, мы можем заметить, что если разделим \(-40 \cdot x \cdot y\) на 2, то получим -20 и перепишем выражение:

\[\begin{aligned} 16 \cdot x^2 - 40 \cdot x \cdot y + 25 \cdot y^2 &= (4 \cdot x)^2 - 2 \cdot (4 \cdot x) \cdot (5 \cdot y) + (5 \cdot y)^2 \\ &= (4 \cdot x)^2 - 2 \cdot (4 \cdot x) \cdot (5 \cdot y) + (5 \cdot y)^2 \\ &= (4 \cdot x)^2 - 2 \cdot (4 \cdot x) \cdot (5 \cdot y) + (5 \cdot y)^2 - 4 \cdot (4 \cdot x) \cdot (5 \cdot y) + 4 \cdot (4 \cdot x) \cdot (5 \cdot y) \\ &= (4 \cdot x)^2 - 2 \cdot (4 \cdot x) \cdot (5 \cdot y) + (5 \cdot y)^2 - (4 \cdot x)^2 + 4 \cdot (4 \cdot x) \cdot (5 \cdot y) \\ &= ((4 \cdot x)^2 - 2 \cdot (4 \cdot x) \cdot (5 \cdot y) + (5 \cdot y)^2) - ((4 \cdot x)^2 - 4 \cdot (4 \cdot x) \cdot (5 \cdot y)) \\ &= (4 \cdot x - 5 \cdot y)^2 - (4 \cdot x - 5 \cdot y)^2 \\ &= (4 \cdot x - 5 \cdot y)^2 - (4 \cdot x - 5 \cdot y)^2 \end{aligned}\]

Теперь мы получили два идентичных множителя: \(4 \cdot x - 5 \cdot y\). Оба выражения в скобках равны друг другу, поэтому мы можем записать итоговый ответ:

\[16 \cdot x^2 - 40 \cdot x \cdot y + 25 \cdot y^2 = (4 \cdot x - 5 \cdot y)^2\]

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде произведения двух идентичных множителей \((4 \cdot x - 5 \cdot y)^2\).