Какие значения x являются корнями уравнения tgx = -9 и находятся в границах (-3pi/2; 3pi/2)?

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Приведение уравнения к известным значениям тангенса.
Используя тригонометрическую тождественную формулу \(\tan(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}}\), мы можем переписать уравнение в виде:
\(\frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}} = -9\).

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю.
Умножим оба выражения на \(\cos(x)\), чтобы убрать знаменатель синуса:
\(\sin(x) = -9 \cdot \cos(x)\).

Шаг 3: Поиск значений синуса и косинуса.
Мы знаем, что синус и косинус числа \(x\) зависят от положения этого числа на единичной окружности. В пределах \((-3\pi/2, 3\pi/2)\) существуют несколько значений \(x\), которые могут быть корнями уравнения. Давайте их определим.

Шаг 4: Определение квадранта.
Поскольку \(\cos(x)\) отрицателен, у нас есть два возможных квадранта, в которых может находиться значение \(x\): третий (\(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\)) и четвёртый (\(\frac{-\pi}{2} < x < 0\)) квадранты.

Шаг 5: Определение функции \(y = \sin(x)\).
Располагая данными о значениях синуса в третьем и четвёртом квадрантах, давайте рассмотрим эти значения, чтобы найти соответствующие значения \(x\).

В третьем квадранте (\(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\)) значение синуса отрицательно. Так как \(\sin(x) = -9 \cdot \cos(x)\), это означает, что в этом квадранте нет корней, потому что у нас нет отрицательного числа, которое будет равно положительной величине, умноженной на 9.

В четвёртом квадранте (\(\frac{-\pi}{2} < x < 0\)) значение синуса положительно. Подставляя в уравнение \(\sin(x) = -9 \cdot \cos(x)\) значение синуса, мы получим:
\(\sin(x) = -9 \cdot \cos(x) \Rightarrow \sin(x) = -9 \cdot \sqrt{1 - \sin^2(x)}\).

Преобразуя это уравнение, мы получим:
\(\sin(x) = -9\sqrt{1 -\sin^2(x)}\),
\(\sin^2(x) = 81(1 - \sin^2(x))\),
\(\sin^2(x) + 81\sin^2(x) = 81\),
\(82\sin^2(x) = 81\),
\(\sin^2(x) = \frac{81}{82}\).

Извлекая квадратный корень, мы получаем:
\(\sin(x) = \pm\sqrt{\frac{81}{82}}\).

Полученные значения синуса являются допустимыми в данной задаче, поскольку они находятся в пределах [-1, 1]. Теперь давайте найдем соответствующие значения \(x\).

Шаг 6: Расчет \(x\) на основе значения синуса.
Используя соответствующую синусу \(x\)-координату на единичной окружности в четвёртом квадранте, мы можем найти значения \(x\).

\(\sin(x) = \frac{9\sqrt{82}}{82}\)
\(x = \arcsin(\frac{9\sqrt{82}}{82})\)

Извлекая численное значение для \(x\), мы получаем приблизительно \(0.914\).

Таким образом, значение \(x\) равно приблизительно \(0.914\).