В треугольнике со сторонами равной длины, проведены биссектрисы углов, прилежащих к основанию. Требуется найти длину

Для начала, обозначим длину биссектрисы угла $\mathrm{\angle }A$ как $x$. Из условия задачи нам известно, что длина биссектрисы угла $\mathrm{\angle }C$ составляет 3 см.

Мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника и свойствами биссектрисы, чтобы решить эту задачу.

1. Для равнобедренного треугольника углы, прилежащие к основанию, равны.
Поскольку треугольник равнобедренный, $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }BCA$.

2. Так как проведены биссектрисы углов, имеем $\mathrm{\angle }EDA=\mathrm{\angle }DAC=\mathrm{\angle }DCE=\mathrm{\angle }BCE$.
Это следует из свойств биссектрисы, которая делит угол пополам.

3. У рассматриваемых треугольников имеется общая сторона $CD$.
Следовательно, треугольники $\mathrm{\Delta }DAC$ и $\mathrm{\Delta }BCE$ равны по второму признаку равенства сторон.

Теперь, обратимся к треугольнику $\mathrm{\Delta }BCE$. Если он равен треугольнику $\mathrm{\Delta }DAC$, то угол $\mathrm{\angle }B$ также равен углу $\mathrm{\angle }D$ в треугольнике $\mathrm{\Delta }DAC$.
Таким образом, у нас получается уравнение:

$\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }D$

Так как $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }BCA$ и $\mathrm{\angle }D=\mathrm{\angle }DAC$, у нас получается:

$\mathrm{\angle }BCA=\mathrm{\angle }DAC$

Теперь мы можем использовать факт, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. В треугольнике $\mathrm{\Delta }BCA$ у нас есть два угла равные между собой ($\mathrm{\angle }B$ и $\mathrm{\angle }BCA$) и угол $\mathrm{\angle }DAC$.
Таким образом, мы можем записать уравнение:

$\mathrm{\angle }DAC+2\cdot \mathrm{\angle }B={180}^{\circ }$

Теперь, подставим известные значения из условия задачи: $\mathrm{\angle }DAC=3^{\circ }$.

$3^{\circ }+2\cdot \mathrm{\angle }B={180}^{\circ }$

Выразим угол $\mathrm{\angle }B$:

$2\cdot \mathrm{\angle }B={177}^{\circ }$

$\mathrm{\angle }B=\frac{{177}^{\circ }}{2}$

$\mathrm{\angle }B={88.5}^{\circ }$

Теперь мы можем использовать тот факт, что угол $\mathrm{\angle }B$ равен половине угла $\mathrm{\angle }A$, чтобы найти угол $\mathrm{\angle }A$:

$\mathrm{\angle }A=2\cdot \mathrm{\angle }B$

$\mathrm{\angle }A=2\cdot {88.5}^{\circ }$

$\mathrm{\angle }A={177}^{\circ }$

Таким образом, угол $\mathrm{\angle }A$ составляет 177 градусов. Но длина биссектрисы угла $\mathrm{\angle }A$ равна $x$.

Окончательный ответ: длина биссектрисы угла $\mathrm{\angle }A$ составляет $x=3$ см.