Какие значения x удовлетворяют уравнению 8sin^2(7п/12+x)-2√3cos2x=5?

Давайте пошагово решим данное уравнение.

Шаг 1: Проверка уравнения на простые преобразования.

Перепишем уравнение с использованием известных тригонометрических тождеств:
\[8\sin^2\left(\frac{7\pi}{12}+x\right) - 2\sqrt{3}\cos2x = 5.\]

Шаг 2: Преобразование левой части уравнения.

Применим формулу двойного угла \(\cos2x = 1 - 2\sin^2x\) и упростим уравнение:
\[8\sin^2\left(\frac{7\pi}{12}+x\right) - 2\sqrt{3}\left(1 - 2\sin^2x\right) = 5.\]

Раскроем скобки:
\[8\sin^2\left(\frac{7\pi}{12}+x\right) - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}\sin^2x = 5.\]

Упростим:
\[8\sin^2\left(\frac{7\pi}{12}+x\right) + 4\sqrt{3}\sin^2x = 5 + 2\sqrt{3}.\]

Шаг 3: Приведение подобных членов.

Сложим члены синусов:
\[12\sin^2x\cdot\sin\left(\frac{7\pi}{12}+x\right) = 5 + 2\sqrt{3}.\]

Шаг 4: Использование тригонометрических формул.

Мы знаем тригонометрическую формулу для суммы углов: \(\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\). Применим её:
\[12\sin^2x\left(\sin\frac{7\pi}{12}\cos x + \cos\frac{7\pi}{12}\sin x\right) = 5 + 2\sqrt{3}.\]

Шаг 5: Преобразование с использованием значения синуса и косинуса.

Значение синуса \(\frac{7\pi}{12}\) равно \(\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}\), а значения косинуса \(\frac{7\pi}{12}\) равно \(\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}\). Заменим значения соответственно:
\[12\sin^2x\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}\cos x + \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}\sin x\right) = 5 + 2\sqrt{3}.\]

Упростим:
\[6\sin^2x(\sqrt{3} - 1)\cos x + 6\sin^2x(\sqrt{3} + 1)\sin x = 5 + 2\sqrt{3}.\]

Шаг 6: Раскрытие скобок и упрощение выражений.

Раскроем скобки:
\[6\sqrt{3}\sin^2x\cos x - 6\sin^2x\cos x + 6\sin^3x + 6\sin^2x\sin x = 5 + 2\sqrt{3}.\]

Упростим:
\[(6\sqrt{3} - 6)\sin^2x\cos x + 6\sin^3x + 6\sin^3x = 5 + 2\sqrt{3}.\]

\[6\sqrt{3}\sin^2x\cos x + 12\sin^3x = 5 + 2\sqrt{3}.\]

Шаг 7: Извлечение общего множителя.

Извлечем общий множитель \(\sin^2x\) и упростим:
\[\sin^2x(6\sqrt{3}\cos x + 12\sin x) = 5 + 2\sqrt{3}.\]

Шаг 8: Поиск значений переменной.

Теперь имеем уравнение: \(\sin^2x(6\sqrt{3}\cos x + 12\sin x) = 5 + 2\sqrt{3}\).

Таким образом, решением уравнения будут значения \(x\), при которых \(\sin^2x = \frac{5 + 2\sqrt{3}}{6\sqrt{3}\cos x + 12\sin x}\).

Воспользуемся тригонометрической формулой \(\sin^2x + \cos^2x = 1\). Заменим \(\sin^2x\) на \(1 - \cos^2x\) и решим уравнение:
\[1 - \cos^2x = \frac{5 + 2\sqrt{3}}{6\sqrt{3}\cos x + 12\sin x}.\]

Теперь можно решить данное уравнение методом подстановки или другими методами решения уравнений.

Надеюсь, данное подробное решение помогло вам понять, как найти значения \(x\), удовлетворяющие данному уравнению. Если у вас возникнут ещё вопросы или понадобится дополнительная помощь, не стесняйтесь задавать их. Желаю вам удачи в учебе!