Чему равен косинус(a+b), если косинус = -1/6, синус b = √35/6, и a+b = π/2?

Чтобы найти значение косинуса суммы \(a+b\) в данной задаче, нам потребуется использовать несколько свойств тригонометрии и алгебры. Давайте разберем каждый шаг по порядку.

Общая формула для косинуса суммы двух углов выглядит так:
\[\cos(a+b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b.\]

Исходя из данной информации, у нас имеется следующее:
\[\cos(a+b) = -\frac{1}{6}, \quad \sin b = \frac{\sqrt{35}}{6}, \quad a+b = \frac{\pi}{2}.\]

Чтобы использовать эти данные в нашей формуле, нам необходимо найти \(\cos a\) и \(\sin a\). Рассмотрим это по очереди:

1. Найдем \(\cos a\).
Используем формулу соотношения между косинусом и синусом:
\[\cos^2 a + \sin^2 a = 1.\]
Подставим полученное значение \(\sin b\) и решим уравнение:
\[\cos^2 a + \left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right)^2 = 1.\]
Вычисляем:
\[\cos^2 a + \frac{35}{36} = 1.\]
Путем вычитания имеем:
\[\cos^2 a = \frac{1}{36}.\]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[\cos a = \pm \frac{1}{6}.\]

2. Найдем \(\sin a\).
Используем соотношение между синусом и косинусом:
\[\sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a}.\]
Подставляем значение \(\cos a\) и решаем:
\[\sin a = \sqrt{1 - \left(\pm \frac{1}{6}\right)^2}.\]
Вычисляем:
\[\sin a = \sqrt{1 - \frac{1}{36}}.\]
\[\sin a = \sqrt{\frac{35}{36}}.\]
Сократим под корнем:
\[\sin a = \frac{\sqrt{35}}{6}.\]

Теперь, когда мы нашли значения \(\cos a\) и \(\sin a\), мы можем подставить их в исходную формулу \(\cos(a+b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b\).
Подставляем:
\[-\frac{1}{6} = \left(\pm \frac{1}{6}\right) \cdot \cos b - \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6}.\]

Обратим внимание, что мы использовали символ \(\pm\) в формуле для \(\cos a\). Это связано с тем, что косинус и синус могут быть положительными или отрицательными по значению в различных квадрантах. В данной формуле \(\cos a\) отражает знак \(\cos(a+b)\), а \(\cos b\) - просто значение \(\cos b\).

Теперь решим полученное уравнение относительно \(\cos b\):
\[\pm \frac{1}{6} = \pm \frac{1}{6} \cdot \cos b - \frac{35}{36}.\]

Давайте продолжим решать в общем виде, чтобы включить возможность различных знаков. Из уравнения выше мы можем переписать:
\[\pm \frac{1}{6} \cdot \cos b = \pm \frac{1}{6} \pm \frac{35}{36}.\]

Теперь разделим обе части уравнения на \(\pm \frac{1}{6}\):
\[\cos b = \pm 1 \pm \frac{35}{6}.\]
\[\cos b = \pm \frac{6}{6} \pm \frac{35}{6}.\]
\[\cos b = \pm \frac{41}{6}.\]

Таким образом, мы получили два возможных значения \(\cos b\):
\(\cos b = \frac{41}{6}\) и \(\cos b = -\frac{41}{6}\).

Итак, чтобы найти значение \(\cos(a+b)\), мы использовали данные a + b = \(\frac{\pi}{2}\), \(\sin b = \frac{\sqrt{35}}{6}\) и \(\cos b = -\frac{1}{6}\). В результате решения получаем два возможных ответа:
\(\cos(a+b) = \frac{41}{6}\) и \(\cos(a+b) = -\frac{41}{6}\).

Окончательный ответ: значение \(\cos(a+b)\) может быть либо \(\frac{41}{6}\), либо \(-\frac{41}{6}\), в зависимости от значения \(\cos b\).