Какой из корней уравнения X^4 − 5x^2 − 36 = 0 является наибольшим?

Для решения данной задачи, нам необходимо найти все корни уравнения \(X^4 - 5X^2 - 36 = 0\) и определить, какой из них является наибольшим. Давайте начнем.

Шаг 1: Заменим переменную \(X^2\) на переменную \(Y\):
\[Y^2 - 5Y - 36 = 0\]

Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта или метод завершения квадрата. Рассмотрим оба метода.

Метод 1: Формула дискриминанта
Для квадратного уравнения вида \(AY^2 + BY + C = 0\), дискриминант \(D\) вычисляется по следующей формуле: \(D = B^2 - 4AC\).
Зная дискриминант, мы сможем определить, есть ли у уравнения действительные корни и сколько их.

В нашем случае, \(A = 1\), \(B = -5\), и \(C = -36\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
\[D = (-5)^2 - 4(1)(-36)\]

Рассчитаем:
\[D = 25 + 144\]
\[D = 169\]

Так как дискриминант \(D\) больше нуля (\(D > 0\)), это означает, что уравнение \(Y^2 - 5Y - 36 = 0\) имеет два действительных корня.

Метод 2: Завершение квадрата
Мы можем также решить уравнение, завершив квадрат на левой стороне.

\[Y^2 - 5Y = 36\]
Чтобы завершить квадрат на левой стороне, нам необходимо добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при \(Y\).
\[(Y - \frac{5}{2})^2 - \frac{5^2}{4} = 36\]

Упростим:
\[(Y - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} = 36\]

Теперь приравняем полученное выражение к значению справа:
\[(Y - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} = 36\]

Добавим \(\frac{25}{4}\) к обеим сторонам уравнения:
\[(Y - \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4} + 36\]
\[(Y - \frac{5}{2})^2 = \frac{625}{4}\]

Возведем обе стороны уравнения в квадратный корень:
\[Y - \frac{5}{2} = \pm \frac{25}{2}\]

Разделим оба значения на 2:
\[Y - \frac{5}{2} = \frac{25}{2}\] или \[Y - \frac{5}{2} = -\frac{25}{2}\]

Добавим \(\frac{5}{2}\) к обеим сторонам:
\[Y = \frac{5}{2} + \frac{25}{2}\] или \[Y = \frac{5}{2} - \frac{25}{2}\]

Упростим:
\[Y = 15\] или \[Y = -10\]

Шаг 3: Опять заменим переменную \(Y\) на переменную \(X^2\) и решим полученные уравнения для определения \(X\):
Для \(Y = 15\):
\[X^2 = 15\]
\[X = \sqrt{15}\] или \[X = -\sqrt{15}\]

Для \(Y = -10\):
\[X^2 = -10\]

Поскольку уравнение \(X^2 = -10\) не имеет действительных корней, мы можем отбросить это значение.

Итак, из полученных результатов, наибольшим корнем данного уравнения является \(X = \sqrt{15}\).