Какие значения x, лежащие в диапазоне от 0 до 4, дают наибольшее и наименьшее значение функции y=2x - корень

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \(y = 2x - \sqrt{x}\) в диапазоне от 0 до 4, мы сначала подставим крайние точки этого диапазона в функцию и найдем соответствующие значения \(y\). Затем мы найдем точку, где производная функции равна нулю, чтобы определить место экстремума. После этого мы сравним значения и найдем наибольшее и наименьшее значение.

1. Найдем значения функции на краях диапазона:

Подставим \(x = 0\) в функцию:
\(y = 2(0) - \sqrt{0} = 0 - 0 = 0\)

Подставим \(x = 4\) в функцию:
\(y = 2(4) - \sqrt{4} = 8 - 2 = 6\)

Таким образом, при \(x = 0\) функция принимает значение 0, а при \(x = 4\) функция принимает значение 6.

2. Найдем место экстремума функции:

Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

\(y = 2x - \sqrt{x}\)

\(\frac{{dy}}{{dx}} = 2 - \frac{1}{{2\sqrt{x}}}\)

\(\frac{{dy}}{{dx}} = 0\) при \(2 - \frac{1}{{2\sqrt{x}}} = 0\)

\(- \frac{1}{{2\sqrt{x}}} = -2\)

\(\frac{1}{{2\sqrt{x}}} = 2\)

\(\sqrt{x} = \frac{1}{4}\)

Возведем в квадрат обе части уравнения:

\(x = \frac{1}{16}\)

Таким образом, у нас есть точка экстремума, где \(x = \frac{1}{16}\).

3. Найдем значение функции при \(x = \frac{1}{16}\):

Подставим \(x = \frac{1}{16}\) в функцию:
\(y = 2\left(\frac{1}{16}\right) - \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{8}\)

Таким образом, при \(x = \frac{1}{16}\) функция принимает значение \(-\frac{1}{8}\).

Итак, мы нашли следующие значения функции:

При \(x = 0\), \(y = 0\)

При \(x = \frac{1}{16}\), \(y = -\frac{1}{8}\)

При \(x = 4\), \(y = 6\)

Наибольшее значение функции равно 6 при \(x = 4\), а наименьшее значение функции равно \(-\frac{1}{8}\) при \(x = \frac{1}{16}\).