Какие значения n, являющиеся натуральными, делают дробь (n^3 - 8)/(n+2) целыми числами?

Чтобы определить, какие значения \( n \) делают дробь \( \frac{{n^3 - 8}}{{n+2}} \) целыми числами, нам нужно найти условия, при которых числитель \( n^3 - 8 \) будет делиться на числитель \( n + 2 \) без остатка.

Можно начать, рассмотрев числитель \( n^3 - 8 \). Для того чтобы этот числитель был кратен \( n + 2 \), \( n^3 - 8 \) должно делиться на \( n + 2 \) без остатка. Мы можем использовать деление с остатком, чтобы проанализировать это условие.

Разделим \( n^3 - 8 \) на \( n + 2 \):
\[
\begin{align*}
(n^3 - 8) &= (n + 2)(n^2 - 2n + 4) - 20
\end{align*}
\]

Таким образом, значение \( n \), при котором дробь \( \frac{{n^3 - 8}}{{n+2}} \) будет целым числом, должно удовлетворять условию:
\[
(n + 2)(n^2 - 2n + 4) - 20 \, \text{делится без остатка на} \, (n + 2)
\]

Упростим это условие:
\[
\begin{align*}
(n + 2)(n^2 - 2n + 4) - 20 &= 0 \\
(n + 2)(n^2 - 2n + 4) &= 20
\end{align*}
\]

Теперь мы должны найти значения \( n \), при которых \( n^2 - 2n + 4 \) является делителем числа 20.

Разложим 20 на простые множители:
\[
20 = 2 \cdot 2 \cdot 5
\]

Проверим каждый из делителей числа 20. Подставим их вместо \( n^2 - 2n + 4 \) и найдем соответствующие значения \( n \):

Когда \( n^2 - 2n + 4 = 1 \), тогда \( n = 1 \) или \( n = 3 \).
Когда \( n^2 - 2n + 4 = 2 \), нет целочисленных значений \( n \).
Когда \( n^2 - 2n + 4 = 4 \), тогда \( n = 0 \), \( n = 2 \) или \( n = 4 \).
Когда \( n^2 - 2n + 4 = 5 \), нет целочисленных значений \( n \).
Когда \( n^2 - 2n + 4 = 10 \), нет целочисленных значений \( n \).
Когда \( n^2 - 2n + 4 = 20 \), нет целочисленных значений \( n \).

Таким образом, значения \( n \), при которых дробь \( \frac{{n^3 - 8}}{{n+2}} \) будет целым числом, равны 1, 3, 0, 2 и 4.