1. Какое уравнение касательной проходит через точку на параболе y= 3x^2-5x-2 с абсциссой 1? Укажите коэффициент k

Решим каждую задачу по очереди:

1. Чтобы найти уравнение касательной к данной параболе, проходящей через точку с известной абсциссой, нам понадобится вычислить производную параболы и подставить известные значения.

Сначала найдем производную параболы \(y=3x^2-5x-2\):

\[y" = 6x - 5\]

Теперь подставим абсциссу точки, через которую проходит касательная, равную 1:

\[y"(1) = (6 \cdot 1) - 5 = 1\]

Таким образом, наклон касательной равен 1. Для нахождения свободного члена касательной (коэффициента b) подставим значения абсциссы и ординаты точки на параболе:

\[y = 3x^2 - 5x - 2\]
\[1 = 3 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 - 2\]
\[1 = 3 - 5 - 2\]
\[1 = -4\]

Таким образом, коэффициент b для данной касательной равен -4.

Уравнение касательной будет иметь вид \(y = x + b\), поэтому:

\[y = x - 4\]

2. Аналогично первой задаче, найдем уравнение касательной, проходящей через параболу \(y = -2x^2 + x - 3\) и точку с абсциссой 2.

Вычислим производную параболы:

\[y" = -4x + 1\]

Подставим абсциссу 2:

\[y"(2) = -4 \cdot 2 + 1 = -7\]

Таким образом, наклон касательной равен -7. Теперь найдем коэффициент b:

\[y = -2x^2 + x - 3\]
\[y(2) = -2 \cdot 2^2 + 2 - 3 = -7\]

Таким образом, коэффициент b равен -7.

Составим уравнение касательной:

\[y = -7x - 7\]

3. Теперь рассмотрим случай, когда нам дана точка (1;-5) и парабола \(y = x^2 - 3x + 1\). Найдем уравнение касательной, проходящей через эту точку.

Сначала найдем производную параболы:

\[y" = 2x - 3\]

Подставим абсциссу 1:

\[y"(1) = 2 \cdot 1 - 3 = -1\]

Таким образом, наклон касательной равен -1. Теперь найдем коэффициент b:

\[y = x^2 - 3x + 1\]
\[y(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = -1\]

Таким образом, коэффициент b равен -1.

Уравнение касательной будет иметь вид:

\[y = -x - 1\]

Для нахождения точек касания этих касательных с параболой, решим систему уравнений, составленную из параболы и каждой из касательных:

\[\begin{cases} y = x^2 - 3x + 1 \\ y = x - 4 \end{cases}\]
\[\begin{cases} x^2 - 3x + 1 = x - 4 \\ y = x - 7 \end{cases}\]

Решив эту систему, найдем значения x, соответствующие точкам касания касательных с параболой:

\[x = \frac{-11 - \sqrt{37}}{4} \approx -2.303\]
\[x = \frac{-11 + \sqrt{37}}{4} \approx 1.803\]

Теперь можно найти y-координаты соответствующих точек:

\[y = \left(\frac{-11 - \sqrt{37}}{4}\right) - 7 \approx -9.303\]
\[y = \left(\frac{-11 + \sqrt{37}}{4}\right) - 7 \approx -5.803\]

Теперь можно найти площадь треугольника, образованного точками пересечения этих касательных и точками касания.

Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника (разница абсцисс точек пересечения касательных) и высоты (разница ординат точек касания):

\[S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{-11 + \sqrt{37}}{4} - \frac{-11 - \sqrt{37}}{4}\right) \cdot \left((-5.803) - (-9.303)\right) \approx 4.033\]

Таким образом, площадь треугольника, образованного этими точками, составляет приблизительно 4.033 квадратных единиц.