Какова вероятность того, что из 400 посаженных саженцев число прижившихся будет находиться в пределах от 348 до 400?

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется знание теории вероятности и комбинаторики. Давайте рассмотрим ее пошаговое решение:

Шаг 1: Найдем вероятность того, что отдельный саженец приживется. Предположим, что вероятность приживаемости каждого саженца составляет p (где p находится в пределах от 0 до 1).

Шаг 2: Используем биномиальное распределение для вычисления вероятности того, что именно k саженцев приживутся из n посаженных. Формула биномиального распределения:

\[P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где n - общее число посаженных саженцев, k - число прижившихся саженцев, \(\binom{n}{k}\) - число комбинаций вида k из n.

Шаг 3: Вычислим вероятность приживания от 348 до 400 саженцев. Для этого нам нужно сложить вероятности приживания каждого значения от 348 до 400:

\[P(348 \le X \le 400) = P(X=348) + P(X=349) + \ldots + P(X=400)\]

Расчеты для каждого значения могут быть достаточно трудоемкими, поэтому воспользуемся другим методом.

Шаг 4: Для упрощения расчетов воспользуемся нормальным распределением. Для больших значений n (в нашем случае n = 400), биномиальное распределение асимптотически приближается к нормальному распределению.

Шаг 5: Используем правило трех сигм для определения вероятности приживания в пределах от 348 до 400. Правило трех сигм утверждает, что для нормального распределения около 99,7% значений лежат в пределах трех сигм вокруг математического ожидания.

Вероятность приживания от 348 до 400 саженцев будет примерно равна вероятности, лежащей в пределах трех сигм относительно математического ожидания приживаемости.

Шаг 6: Рассчитаем математическое ожидание и стандартное отклонение вероятности приживания одного саженца. Ожидание равно p, а стандартное отклонение равно \(\sqrt{\frac{{p \cdot (1-p)}}{n}}\).

Шаг 7: Используя математическое ожидание и стандартное отклонение, мы можем аппроксимировать вероятности приживания в пределах от 348 до 400 саженцев с помощью нормального распределения.

Шаг 8: Подставим найденные значения в формулу нормального распределения:

\[P(348 \le X \le 400) \approx \Phi\left(\frac{400-p \cdot n}{\sqrt{p \cdot (1-p) \cdot n}}\right) - \Phi\left(\frac{348-p \cdot n}{\sqrt{p \cdot (1-p) \cdot n}}\right)\]

где \(\Phi(z)\) - функция распределения стандартного нормального распределения.

Таким образом, выражением выше мы можем приближенно вычислить вероятность приживания от 348 до 400 саженцев на основе ожидания и стандартного отклонения вероятности приживания одного саженца.

Эта формула позволяет решить задачу и определить вероятность приживания саженцев в указанном диапазоне. Однако, чтобы получить точное значение, нам нужно знать точное значение вероятности приживания каждого саженца.