Какие являются координаты центра и радиус вписанной в треугольник окружности, стороны которого определены уравнениями

Чтобы найти координаты центра вписанной окружности в треугольник, нужно использовать свойство, что центр окружности является пересечением биссектрис треугольника. Давайте пошагово разберем эту задачу.

1. Найдем вершины треугольника.
Для этого решим систему уравнений, представленную уравнениями сторон треугольника:
3x + 4y - 12 = 0,
4x - 3y + 12 = 0,
y = 0.

Подставим y = 0 в первые два уравнения, чтобы найти значения x:
3x + 4(0) - 12 = 0,
4x - 3(0) + 12 = 0.

Решив эти уравнения, получим:
3x - 12 = 0,
4x + 12 = 0.

Решая каждое уравнение, получаем:
3x = 12,
4x = -12.

Разделим каждое уравнение на соответствующий коэффициент:
x = 4,
x = -3.

Таким образом, вершины треугольника имеют координаты A(4, 0) и B(-3, 0).

2. Найдем уравнения биссектрис треугольника.
Биссектриса треугольника делит угол пополам и проходит через его вершину и центр вписанной окружности.

Угол между сторонами треугольника AB и осью Ox определяется уравнением y = 0. Поэтому биссектриса треугольника будет перпендикулярна к этому уравнению и проходит через вершину C(x, y).

Используя свойство, что биссектриса треугольника делит его стороны пропорционально, найдем уравнения биссектрис:
С = (x, y).

Для стороны AC:
Рассмотрим уравнение 3x + 4y - 12 = 0, проходящее через вершины A и C.

Для стороны BC:
Рассмотрим уравнение 4x - 3y + 12 = 0, проходящее через вершины B и C.

Таким образом, у нас получаются следующие системы уравнений:
Система 1:
\(\begin{cases} 3x + 4y - 12 = 0 \\ 4x - 3y + 12 = 0 \end{cases}\)
Система 2:
\(\begin{cases} 3x + 4y - 12 = 0 \\ 4x - 3y + 12 = 0 \end{cases}\)

Решим обе системы уравнений, найдем координаты вершины C.

Ответ: чтобы найти координаты центра и радиус вписанной окружности, которая описывает треугольник A В С, решим следующие уравнения: 3x + 4y - 12 = 0 и 4x - 3y + 12 = 0. Подставим x и y в оба уравнения, чтобы найти точку пересечения - это координаты центра окружности.

Затем найдем радиус окружности, используя формулу радиуса окружности: \(R = \frac{{abc}}{{4S}}\), где а, b и с - длины сторон треугольника, а S - площадь треугольника.