Какие асимптоты присутствуют на графике функции f(x) = 3x + 1/x

Чтобы определить асимптоты графика функции \(f(x) = 3x + \frac{1}{x}\), нам нужно рассмотреть два типа асимптот: вертикальные и горизонтальные.

Начнем с вертикальных асимптот. Вертикальная асимптота возникает, когда функция стремится к бесконечности вблизи определенного значения \(x\). Чтобы найти вертикальные асимптоты, мы должны приравнять знаменатель к нулю и решить уравнение.

В данном случае, когда \(x\) стремится к нулю, знаменатель \(x\) также стремится к нулю. Это означает, что у нас есть вертикальная асимптота при \(x = 0\).

Теперь перейдем к горизонтальным асимптотам. Горизонтальная асимптота возникает, когда функция стремится к константе при \(x\), стремящемся к бесконечности. Чтобы найти горизонтальные асимптоты, мы должны изучить поведение функции при \(x\), стремящемся к бесконечности.

Для этого рассмотрим предел функции \(f(x)\) при \(x\), стремящемся к бесконечности. Разделим обе части функции на \(x\):

\[f(x) = 3x + \frac{1}{x} = x \left(3 + \frac{1}{x^2}\right)\]

Когда \(x\) стремится к бесконечности, второе слагаемое \(\frac{1}{x^2}\) становится очень маленьким и стремится к нулю. Значит, в пределе функция будет стремиться к \(3x\). Это означает, что у функции есть горизонтальная асимптота при \(y = 3x\).

Таким образом, график функции \(f(x) = 3x + \frac{1}{x}\) имеет вертикальную асимптоту при \(x = 0\) и горизонтальную асимптоту при \(y = 3x\).