При каких значениях параметра a происходит пересечение графиков функций y = - x² + 6x - 7 и y = 2x + a хотя бы в одной

Чтобы найти значения параметра \(a\), при которых происходит пересечение графиков функций \(y = -x^2 + 6x - 7\) и \(y = 2x + a\) хотя бы в одной точке, нужно найти условие при котором уравнение \(y = -x^2 + 6x - 7\) имеет хотя бы одно решение в точке \(x\).

Первым шагом решим уравнение \(y = -x^2 + 6x - 7\) относительно \(x\), чтобы выразить его в виде равенства нулю:

\[-x^2 + 6x - 7 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения, воспользуемся методом дискриминанта. Дискриминант \(\Delta\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

В данном случае, у нас \(a = -1\), \(b = 6\), и \(c = -7\), поэтому \(\Delta = 6^2 - 4(-1)(-7)\).

Вычислим дискриминант:

\[\Delta = 36 - 4(1)(-7) = 36 - 28 = 8\]

Так как дискриминант \(\Delta\) положительный (\(\Delta > 0\)), это означает, что уравнение имеет два различных корня.

Теперь, чтобы узнать, при каких значениях параметра \(a\) происходит пересечение графиков функций хотя бы в одной точке, нужно учесть, что графики пересекаются, если уравнение с параметром \(y = 2x + a\) также имеет решения.

Для этого подставим значения \(x\), найденные из первого уравнения, во второе уравнение и решим его:

Подставим \(x\) равное первому корню квадратного уравнения:
\[y = 2 \cdot (-2) + a = -4 + a\]

Подставим \(x\) равное второму корню квадратного уравнения:
\[y = 2 \cdot 3 + a = 6 + a\]

Итак, чтобы графики функций пересекались хотя бы в одной точке, значения функций \(y\) при одном и том же значении \(x\) должны быть равны.

То есть, у нас получается система уравнений:

\[\begin{cases} -4 + a = 6 + a \\ -2x^2 + 6x - 7 = 0 \end{cases}\]

Мы уже решили второе уравнение, и получили два значения \(x\). Подставим эти значения в первое уравнение:

При \(x = -2\):
\[-4 + a = 6 + a\]
\[-4 = 6\]
Такое уравнение не имеет решений.

При \(x = 3\):
\[6 + a = 6 + a\]
\[a = a\]
Решение верное для всех значений параметра \(a\).

Таким образом, графики функций \(y = -x^2 + 6x - 7\) и \(y = 2x + a\) пересекаются хотя бы в одной точке для любых значений параметра \(a\).