Какая площадь треугольника образуется между линией x-оси и двумя касательными, проведенными из определенной точки

Для решения этой задачи нам нужно вычислить площадь треугольника, образованного линией x-оси и двумя касательными, проведенными из определенной точки на графике функции $f(x)=5-x+\frac{x^2}{2}$.

Шаг 1: Найдем точку, из которой будут проведены касательные. Для этого нам понадобится дифференциальное исчисление. Возьмем производную $f"(x)$ функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума.

$$f"(x)=-1+x=0$$
$$x=1$$

Таким образом, точка экстремума функции $f(x)$ находится при $x=1$. Для данной задачи мы будем проводить касательные из этой точки.

Шаг 2: Найдем значения функции $f(x)$ в точке $x=1$ и значение производной функции $f"(x)$ в этой же точке. Также найдем координаты точки, через которую мы будем проводить касательные.

$$f(1)=5-1+\frac{1^2}{2}=5-1+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$$
$$f"(1)=-1+1=0$$

Точка $P(1,\frac{9}{2})$ будет использоваться для построения касательных к графику.

Шаг 3: Теперь найдем уравнения касательных, которые проходят через точку $P$ и касаются графика функции $f(x)$. Уравнение касательной имеет вид $y=mx+c$, где $m$ - наклон касательной, а $c$ - свободный член уравнения.

Для первой касательной, проходящей через точку $P$, наклон можно найти, вычислив производную функции $f(x)$ в точке $x=1$.

$$m_1=f"(1)=0$$

Таким образом, уравнение первой касательной будет иметь вид $y=0x+c_1$, что означает, что эта линия является горизонтальной и имеет уравнение $y=c_1$. Подставим координаты точки $P$ в это уравнение, чтобы найти значение $c_1$.

$$\frac{9}{2}=c_1$$

Уравнение первой касательной: $y=\frac{9}{2}$.

Для второй касательной, наклон также можно найти, вычислив производную функции $f(x)$ в точке $x=1$.

$$m_2=f"(1)=0$$

Таким образом, уравнение второй касательной будет иметь вид $y=0x+c_2$, или просто $y=c_2$. Подставим координаты точки $P$ в это уравнение, чтобы найти значение $c_2$.

$$\frac{9}{2}=c_2$$

Уравнение второй касательной: $y=\frac{9}{2}$.

Шаг 4: Теперь осталось найти площадь треугольника, образованного x-осью и двумя касательными. Этот треугольник будет расположен между x-осью, касательной $y=\frac{9}{2}$ и касательной $y=\frac{9}{2}$.

Чтобы найти площадь этого треугольника, нужно вычислить интеграл функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$, где $a$ и $b$ - координаты точек пересечения графика функции $f(x)$ с касательными.

Для нашей задачи, точки пересечения графика $f(x)$ с касательными $y=\frac{9}{2}$ находятся при $x=0$ и $x=2$.

Таким образом, площадь треугольника может быть найдена следующим образом:

$$\text{Площадь}={\int }_0^{2}f(x)dx$$

Аналитическое выражение функции $f(x)$ уже дано в условии задачи: $f(x)=5-x+\frac{x^2}{2}$. Подставим его в формулу интеграла:

$$\text{Площадь}={\int }_0^2(5-x+\frac{x^2}{2})dx$$

Вычислим интеграл:

$$\text{Площадь}={[5x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}]}_0^2$$

$$\text{Площадь}=(5\cdot 2-\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{6})-(5\cdot 0-\frac{0^2}{2}+\frac{0^3}{6})$$

$$\text{Площадь}=(10-2+\frac{8}{6})-(0-0+0)$$

$$\text{Площадь}=(10-2+\frac{4}{3})-(0)$$

$$\text{Площадь}=8+\frac{4}{3}$$

$$\text{Площадь}=\frac{28}{3}$$

Таким образом, площадь треугольника, образованного линией x-оси и двумя касательными из точки $P(1,\frac{9}{2})$ на графике функции $f(x)=5-x+\frac{x^2}{2}$, равна $\frac{28}{3}$.