Какая площадь треугольника образуется между линией x-оси и двумя касательными, проведенными из определенной точки

Для решения этой задачи нам нужно вычислить площадь треугольника, образованного линией x-оси и двумя касательными, проведенными из определенной точки на графике функции \(f(x) = 5 - x + \frac{{x^2}}{2}\).

Шаг 1: Найдем точку, из которой будут проведены касательные. Для этого нам понадобится дифференциальное исчисление. Возьмем производную \(f"(x)\) функции \(f(x)\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума.

\[f"(x) = -1 + x = 0\]
\[x = 1\]

Таким образом, точка экстремума функции \(f(x)\) находится при \(x = 1\). Для данной задачи мы будем проводить касательные из этой точки.

Шаг 2: Найдем значения функции \(f(x)\) в точке \(x = 1\) и значение производной функции \(f"(x)\) в этой же точке. Также найдем координаты точки, через которую мы будем проводить касательные.

\[f(1) = 5 - 1 + \frac{{1^2}}{2} = 5 - 1 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\]
\[f"(1) = -1 + 1 = 0\]

Точка \(P (1, \frac{9}{2})\) будет использоваться для построения касательных к графику.

Шаг 3: Теперь найдем уравнения касательных, которые проходят через точку \(P\) и касаются графика функции \(f(x)\). Уравнение касательной имеет вид \(y = mx + c\), где \(m\) - наклон касательной, а \(c\) - свободный член уравнения.

Для первой касательной, проходящей через точку \(P\), наклон можно найти, вычислив производную функции \(f(x)\) в точке \(x = 1\).

\[m_1 = f"(1) = 0\]

Таким образом, уравнение первой касательной будет иметь вид \(y = 0x + c_1\), что означает, что эта линия является горизонтальной и имеет уравнение \(y = c_1\). Подставим координаты точки \(P\) в это уравнение, чтобы найти значение \(c_1\).

\[\frac{9}{2} = c_1\]

Уравнение первой касательной: \(y = \frac{9}{2}\).

Для второй касательной, наклон также можно найти, вычислив производную функции \(f(x)\) в точке \(x = 1\).

\[m_2 = f"(1) = 0\]

Таким образом, уравнение второй касательной будет иметь вид \(y = 0x + c_2\), или просто \(y = c_2\). Подставим координаты точки \(P\) в это уравнение, чтобы найти значение \(c_2\).

\[\frac{9}{2} = c_2\]

Уравнение второй касательной: \(y = \frac{9}{2}\).

Шаг 4: Теперь осталось найти площадь треугольника, образованного x-осью и двумя касательными. Этот треугольник будет расположен между x-осью, касательной \(y = \frac{9}{2}\) и касательной \(y = \frac{9}{2}\).

Чтобы найти площадь этого треугольника, нужно вычислить интеграл функции \(f(x)\) на отрезке \([a, b]\), где \(a\) и \(b\) - координаты точек пересечения графика функции \(f(x)\) с касательными.

Для нашей задачи, точки пересечения графика \(f(x)\) с касательными \(y = \frac{9}{2}\) находятся при \(x = 0\) и \(x = 2\).

Таким образом, площадь треугольника может быть найдена следующим образом:

\[\text{Площадь} = \int_{0}^{2} f(x) dx\]

Аналитическое выражение функции \(f(x)\) уже дано в условии задачи: \(f(x) = 5 - x + \frac{{x^2}}{2}\). Подставим его в формулу интеграла:

\[\text{Площадь} = \int_{0}^{2} (5 - x + \frac{{x^2}}{2}) dx\]

Вычислим интеграл:

\[\text{Площадь} = \left[5x - \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6}\right]_{0}^{2}\]

\[\text{Площадь} = (5 \cdot 2 - \frac{{2^2}}{2} + \frac{{2^3}}{6}) - (5 \cdot 0 - \frac{{0^2}}{2} + \frac{{0^3}}{6})\]

\[\text{Площадь} = (10 - 2 + \frac{8}{6}) - (0 - 0 + 0)\]

\[\text{Площадь} = (10 - 2 + \frac{4}{3}) - (0)\]

\[\text{Площадь} = 8 + \frac{4}{3}\]

\[\text{Площадь} = \frac{28}{3}\]

Таким образом, площадь треугольника, образованного линией x-оси и двумя касательными из точки \(P(1, \frac{9}{2})\) на графике функции \(f(x) = 5 - x + \frac{{x^2}}{2}\), равна \(\frac{28}{3}\).