Какое минимальное количество испытаний требуется, чтобы гарантировать, что с вероятностью, не менее 0,95, событие

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для расчета минимального количества испытаний, необходимого для достижения заданной вероятности.

Дано, что вероятность события А в одном испытании равна 0,1, и мы хотим найти минимальное количество испытаний, чтобы с вероятностью не менее 0,95 событие А произошло хотя бы один раз.

Для этого мы можем воспользоваться формулой для расчета вероятности отсутствия события в серии испытаний - это вероятность несбыточности события (1 - вероятность события). Затем мы возведем эту вероятность в степень, равную количеству испытаний, и найдем вероятность отсутствия события в течение всех испытаний.

Таким образом, формула будет выглядеть следующим образом:

\(P(\text{событие не произойдет в течение n испытаний}) = (1 - P(\text{событие произойдет}))^n\)

Мы хотим, чтобы вероятность события не произошла в течение n испытаний была равна или меньше 0,05, так как 0,05 это вероятность, что событие А произойдет хотя бы один раз.

Теперь мы можем подставить значения в нашу формулу:

\((1 - 0,1)^n \leq 0,05\)

Перепишем это уравнение в виде неравенства:

\(0,9^n \leq 0,05\)

Далее, возьмем логарифм от обеих частей неравенства, чтобы избавиться от степени:

\(\log(0,9^n) \leq \log(0,05)\)

Используя свойство логарифма \(\log(b^a) = a \log(b)\), мы можем переписать это уравнение как:

\(n \log(0,9) \leq \log(0,05)\)

Теперь, разделим обе части неравенства на \(\log(0,9)\) для выделения неизвестного значения:

\(n \geq \frac{\log(0,05)}{\log(0,9)}\)

Вычислим правую часть неравенства:

\[n \geq \frac{\log(0,05)}{\log(0,9)} \approx 21,85\]

Так как количество испытаний должно быть целым, округлим результат вверх:

\(n \geq 22\)

Итак, минимальное количество испытаний, необходимых для гарантии того, что с вероятностью не менее 0,95 событие А произойдет хотя бы один раз, равно 22.