Какая будет сумма всех натуральных чисел, меньших или равных 180, и имеющих остаток от деления

Давайте решим данную задачу пошагово. У нас есть сумма всех натуральных чисел, меньших или равных 180, и имеющих остаток от деления на 12, равный 3.

1. Найдем все натуральные числа, меньшие или равные 180, и имеющие остаток от деления на 12, равный 3.
Для этого нам необходимо найти натуральные числа, которые при делении на 12 дают остаток 3. Такие числа можно представить в виде:

\[12n + 3\]

Где n - целое число.

2. Теперь нам нужно найти все значения n, при которых 12n + 3 меньше или равно 180.
Для этого мы можем составить неравенство:

\[12n + 3 \leq 180\]

3. Решим данное неравенство. Сначала избавимся от константы 3, вычтя ее из обеих частей неравенства:

\[12n \leq 180 - 3\]
\[12n \leq 177\]

4. Теперь разделим обе части неравенства на 12, чтобы найти значения n:

\[n \leq \frac{177}{12}\]

5. Выполним деление:

\[n \leq 14.75\]

Поскольку n должно быть целым числом, выберем наибольшее целое число, меньшее или равное 14.75, которое равно 14.

6. Таким образом, мы нашли все значения n, при которых 12n + 3 меньше или равно 180. Они равны 3, 15, 27, ..., 171.

7. Чтобы найти сумму всех этих чисел, возьмем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{n}{2}(a + b)\]

Где S - сумма, n - количество чисел, а и b - первое и последнее числа прогрессии соответственно.

8. В нашем случае, количество чисел n равно 14 (количество значений n, найденных на предыдущем шаге), первое число а равно 3, а последнее число b равно 171.

9. Подставим все значения в формулу:

\[S = \frac{14}{2}(3 + 171)\]
\[S = 7 \times 174\]
\[S = 1218\]

Получаем, что сумма всех натуральных чисел, меньших или равных 180 и имеющих остаток от деления на 12, равный 3, равна 1218.

Надеюсь, объяснение было понятным и подробным.