Найти вероятность того, что все части, проверенные мастером, являются действительными, при условии, что были проверены

Чтобы найти вероятность того, что все части, проверенные мастером, являются действительными, нам необходимо знать вероятности того, что отдельная часть будет являться действительной или недействительной. Предположим, что вероятность того, что отдельная часть будет действительной, равна \( p \), а вероятность того, что она будет недействительной, равна \( q \), где \( q = 1 - p \).

Так как нам дано, что три части из 16 были проверены и две из них оказались недействительными, мы можем воспользоваться понятием условной вероятности. Условная вероятность означает, что мы рассматриваем вероятность наступления события при условии, что уже произошло другое событие.

Нам нужно найти вероятность того, что все три проверенные части являются действительными. Обозначим это событие как \( A \). У нас есть два варианта выполнения этого события: либо все три части действительны, либо две из них недействительны. Пусть событие \( B \) означает, что две из трех частей, проверенных мастером, являются недействительными.

Тогда вероятность события \( A \) можно записать следующим образом: \( P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B}) \), где \( P(A|B) \) - вероятность события \( A \) при условии, что событие \( B \) произошло, \( P(B) \) - вероятность события \( B \), \( P(A|\overline{B}) \) - вероятность события \( A \) при условии, что событие \( B \) не произошло, \( P(\overline{B}) \) - вероятность события \( \overline{B} \) (событие, противоположное событию \( B \)).

Мы знаем, что две из трех проверенных частей оказались недействительными. Поэтому вероятность события \( B \) равна вероятности недействительной части первой проверки (\( q \)), умноженной на вероятность недействительной части второй проверки (\( q \)), умноженной на вероятность действительной части третьей проверки (\( p \)). То есть \( P(B) = q \cdot q \cdot p \).

Вероятность того, что все три проверенные части являются действительными, при условии, что две из них недействительны, равна нулю, так как это невозможное событие. То есть \( P(A|\overline{B}) = 0 \).

Итак, чтобы найти вероятность того, что все три проверенные части являются действительными, при условии, что две из них недействительны, нам остается только найти вероятность события \( A \) при условии, что событие \( B \) произошло (\( P(A|B) \)).

Событие \( A \) при условии, что событие \( B \) произошло, означает, что третья проверенная часть должна быть действительной. Вероятность действительной части равна \( p \).

Таким образом, вероятность события \( A \) при условии, что событие \( B \) произошло, равна \( P(A|B) = p \).

Используя все эти значения, мы можем вычислить вероятность события \( A \):

\[ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B}) = p \cdot (q \cdot q \cdot p) + 0 = p^2 \cdot q^2 \]

Таким образом, вероятность того, что все части, проверенные мастером, являются действительными, при условии, что были проверены три части из 16, из которых две были недействительными, равна \( p^2 \cdot q^2 \).