Какая антипроизводная функции f(x)=3/4√х+х проходит через точку А(4;13)?

Question

Алгебра: Какая антипроизводная функции f(x)=3/4√х+х проходит через точку А(4;13)?

Пугающий_Лис · Accepted Answer

Конечно! Чтобы найти антипроизводную функции

f (x) = \frac{3}{4} \sqrt{x} + x

, которая проходит через точку

A (4; 13)

, выполним следующие шаги:

1. Найдем первообразную для каждого слагаемого в функции

f (x)

. Для первого слагаемого

\frac{3}{4} \sqrt{x}

можно использовать формулу антипроизводной:

\int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{1}

где

C_{1}

- произвольная постоянная.

2. Для второго слагаемого

x

также можно просто взять антипроизводную:

\int x d x = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}

где

C_{2}

- также произвольная постоянная.

3. Теперь суммируем найденные антипроизводные:

F (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + C

где

C = C_{1} + C_{2}

- новая произвольная постоянная.

4. Чтобы найти значение константы

C

, подставим координаты точки

A (4; 13)

в найденную антипроизводную функцию:

13 = \frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} (4)^{2} + C

Выражаем

C

:

C = 13 - \frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} (4)^{2}

5. Таким образом, окончательная антипроизводная функции

f (x)

, проходящая через точку

A (4; 13)

, будет иметь вид:

F (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + (13 - \frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} (4)^{2})

или, в упрощенном виде:

F (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{8}{3} - 4