Какая антипроизводная функции f(x)=3/4√х+х проходит через точку А(4;13)?

Конечно! Чтобы найти антипроизводную функции \(f(x) = \frac{3}{4}\sqrt{x} + x\), которая проходит через точку \(A(4;13)\), выполним следующие шаги:

1. Найдем первообразную для каждого слагаемого в функции \(f(x)\). Для первого слагаемого \(\frac{3}{4}\sqrt{x}\) можно использовать формулу антипроизводной:

\[
\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C_1
\]

где \(C_1\) - произвольная постоянная.

2. Для второго слагаемого \(x\) также можно просто взять антипроизводную:

\[
\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_2
\]

где \(C_2\) - также произвольная постоянная.

3. Теперь суммируем найденные антипроизводные:

\[
F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^2 + C
\]

где \(C = C_1 + C_2\) - новая произвольная постоянная.

4. Чтобы найти значение константы \(C\), подставим координаты точки \(A(4;13)\) в найденную антипроизводную функцию:

\[
13 = \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}(4)^2 + C
\]

Выражаем \(C\):

\[
C = 13 - \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}(4)^2
\]

5. Таким образом, окончательная антипроизводная функции \(f(x)\), проходящая через точку \(A(4;13)\), будет иметь вид:

\[
F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^2 + \left(13 - \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}(4)^2\right)
\]

или, в упрощенном виде:

\[
F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^2 - \frac{8}{3} - 4
\]