1. Каждый месяц объем средств, хранимых на банковском вкладе, увеличивается на 5%. Через год объем будет увеличен

Хорошо, я готов помочь вам с этими задачами. Давайте решим их по порядку.

1. Для решения этой задачи нам понадобится найти процентное увеличение за каждый месяц и затем применить его к исходной сумме. Для удобства будем предполагать, что начальная сумма на вкладе равна 1000 рублей.

Пусть количество месяцев равно 12 (год). Тогда для каждого месяца объем средств увеличивается на 5%. Величина увеличения можно найти следующим образом:

\(5\% = \frac{5}{100} = 0.05\)

Теперь мы можем посчитать конечную сумму после 12 месяцев:

\(1000 + 0.05 \times 1000 = 1000 + 50 = 1050\)

Таким образом, через год объем средств на банковском вкладе увеличится на 50 рублей.

2. Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулы для геометрической и арифметической прогрессий. Пусть второе число в убывающей геометрической прогрессии равно а, а знаменатель этой прогрессии равен q.

Тогда арифметическая прогрессия будет выглядеть следующим образом: а, а + b, а + 2b, ...

Если второе число геометрической прогрессии увеличить на 25%, получим арифметическую прогрессию, следовательно:

\(а + q = а + 1.25q\)

Раскроем скобки и упростим:

\(q = 1.25q\)

Теперь разделим обе части уравнения на q:

\(1 = 1.25\)

Видим, что левая и правая части не равны друг другу, поэтому данное уравнение не имеет решений. Значит, задача не имеет корректного ответа.

3. Для нахождения члена последовательности с номером 103 воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии.

Общий член арифметической прогрессии задается формулой:

\(a_n = a_1 + (n-1)d\)

Где \(a_n\) - n-ый член последовательности, \(a_1\) - первый член последовательности, \(n\) - номер члена последовательности, \(d\) - разность (шаг прогрессии).

Заметим, что формула для общего члена арифметической прогрессии и данная последовательность имеют одинаковую форму.

\(a_n = 2n - 5\)

Для нахождения члена последовательности с номером 103 подставим вместо n значение 103:

\(a_{103} = 2 \times 103 - 5\)

После вычислений получаем:

\(a_{103} = 201\)