Как решить уравнение, в котором производные функций f(x) и g(x) равны друг другу, если известно, что f(x) = 6√x

Для решения данной задачи, где нужно найти значения переменной \(x\), при которых производные функций \(f(x)\) и \(g(x)\) равны друг другу, можно воспользоваться следующим методом.

1. Найдите производные функций \(f(x)\) и \(g(x)\).
Для функции \(f(x) = 6\sqrt{x}\) возьмем производную:
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(6\sqrt{x}) = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}}\]

Для функции \(g(x) = \frac{1}{2}x\) возьмем производную:
\[g"(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x\right) = \frac{1}{2}\]

2. Приравняйте производные функций и решите полученное уравнение.
Так как \(f"(x) = g"(x)\), то можно записать уравнение:
\[\frac{3}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2}\]

Домножим обе части уравнения на \(\sqrt{x}\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[3 = \frac{\sqrt{x}}{2}\]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[6 = \sqrt{x}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[36 = x\]

Таким образом, получаем, что \(x = 36\).

3. Проверка решения.
Для проверки подставим найденное значение \(x = 36\) в исходные функции \(f(x)\) и \(g(x)\):

Для \(f(x) = 6\sqrt{x}\):
\[f(36) = 6\sqrt{36} = 6 \cdot 6 = 36\]

Для \(g(x) = \frac{1}{2}x\):
\[g(36) = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18\]

Проверим также производные функций в точке \(x = 36\):
Для \(f"(x) = \frac{3}{\sqrt{x}}\):
\[f"(36) = \frac{3}{\sqrt{36}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

Для \(g"(x) = \frac{1}{2}\):
\[g"(36) = \frac{1}{2}\]

Значения функций и производные совпали, что означает, что \(x=36\) является корнем уравнения, удовлетворяющим условиям задачи.

Таким образом, уравнение \(f(x) = 6\sqrt{x}\) и \(g(x) = \frac{1}{2}x\) имеет единственное решение, \(x = 36\).