Каково значение десятого члена геометрической прогрессии bn, если известны значения b2=128 и b6=8?

Для решения этой задачи нам понадобится формула для нахождения общего члена геометрической прогрессии. Общая формула имеет вид:

\[b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\]

где \(b_n\) - n-ый член прогрессии,
\(b_1\) - первый член прогрессии,
\(q\) - знаменатель прогрессии,
\(n\) - номер члена прогрессии, значение которого нужно найти.

У нас есть значения \(b_2 = 128\) и \(b_6 = 8\). Мы можем воспользоваться этими данными, чтобы найти \(b_1\) и \(q\).

Для начала, давайте найдем \(q\). Мы знаем, что каждый следующий член прогрессии равен предыдущему, умноженному на \(q\). Таким образом, можно найти соотношение:

\[\frac{b_6}{b_2} = \frac{8}{128} = q^{(6-2)}\]

Сокращаем дробь: \(\frac{1}{16} = q^{4}\).

Теперь найдем значение \(q\). Чтобы извлечь корень четвертой степени, возводим обе части уравнения в степень \(\frac{1}{4}\):

\[\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} = q^{(4 \cdot \frac{1}{4})}\]

\[\frac{1}{\sqrt[4]{16}} = q\]

Упрощаем дробь:

\[\frac{1}{2} = q\]

Теперь можно найти первый член \(b_1\). Для этого воспользуемся формулой:

\[b_2 = b_1 \cdot q^{(2-1)}\]

Подставляем известные значения:

\[128 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1\]

Упрощаем выражение:

\[128 = \frac{b_1}{2}\]

Умножаем обе части уравнения на 2:

\[256 = b_1\]

Теперь, когда у нас есть значения \(b_1 = 256\) и \(q = \frac{1}{2}\), мы можем найти десятый член прогрессии \(b_{10}\). Подставляем значения в формулу:

\[b_{10} = 256 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{(10-1)}\]

\[b_{10} = 256 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{9}\]

\[b_{10} = 256 \cdot \frac{1}{512}\]

Упрощаем выражение:

\[b_{10} = \frac{256}{512}\]

\[b_{10} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, значение десятого члена геометрической прогрессии \(b_n\) равно \(\frac{1}{2}\).