Как найти точку минимума функции y=(x-7)^2(x+6)?

Хорошо, давайте решим данную задачу по поиску точки минимума функции \(y=(x-7)^2(x+6)\).

1. Начнем с нахождения точек, где производная данной функции равна нулю. Эти точки будут кандидатами на точки минимума или максимума функции.

Для этого, возьмем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2(x-7)(x+6) + (x-7)^2
\]

2. Теперь, чтобы найти точки, где производная равна нулю, приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение:

\[
2(x-7)(x+6) + (x-7)^2 = 0
\]

Мы можем раскрыть скобки и преобразовать это уравнение:

\[
2(x^2-x-42) + (x^2-14x+49) = 0
\]

Упростим:

\[
2x^2-2x-84+x^2-14x+49 = 0
\]
\[
3x^2-16x-35 = 0
\]

3. Теперь решим полученное квадратное уравнение.

Мы можем решить его с помощью факторизации или с использованием формулы дискриминанта. Для простоты, воспользуемся формулой дискриминанта.

Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\), дискриминант вычисляется по формуле:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

В нашем случае:

\(a = 3\), \(b = -16\), и \(c = -35\).

Вычислим дискриминант:

\[
D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-35) = 256 + 420 = 676
\]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных вещественных корня.

4. Теперь вычислим сами корни уравнения, используя формулу:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

Подставим значения:

\[
x_1 = \frac{{-(-16) + \sqrt{676}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{16 + 26}}{{6}} = \frac{{42}}{{6}} = 7
\]

\[
x_2 = \frac{{-(-16) - \sqrt{676}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{16 - 26}}{{6}} = \frac{{-10}}{{6}} = -\frac{{5}}{{3}}
\]

5. Теперь, чтобы найти соответствующие значения функции \(y\) в найденных точках, подставим значения \(x_1 = 7\) и \(x_2 = -\frac{{5}}{{3}}\) в \(y = (x-7)^2(x+6)\):

\[
y_1 = (7-7)^2(7+6) = 0 \cdot 13 = 0
\]

\[
y_2 = \left(-\frac{{5}}{{3}}-7\right)^2\left(-\frac{{5}}{{3}}+6\right) = \left(-\frac{{22}}{{3}}\right)^2 \cdot \frac{{13}}{{3}} = \frac{{484}}{{9}} \cdot \frac{{13}}{{3}} = \frac{{6292}}{{27}}
\]

Итак, получаем две точки: точка минимума \((7, 0)\) и точка \(\left(-\frac{{5}}{{3}}, \frac{{6292}}{{27}}\right)\).

Таким образом, точка минимума функции \(y=(x-7)^2(x+6)\) равна \((7, 0)\).