Как найти решение уравнения (x^2-2x)^2+(x-1)^2=1?

Конечно! Я могу дать пошаговое решение этого уравнения. Давайте начнем.

1. Раскроем скобки в уравнении по формуле \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\):

\[(x^2-2x)^2+(x-1)^2 = (x^4 - 4x^3 + 4x^2)+(x^2 - 2x + 1) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + x^2 - 2x + 1\]

2. Объединим все подобные члены и упростим уравнение:

\[x^4 - 4x^3 + 4x^2 + x^2 - 2x + 1 = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x + 1\]

3. Разделим уравнение на \(x^2\) для простоты решения:

\[\frac{{x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x + 1}}{{x^2}} = \frac{{x^4}}{{x^2}} - \frac{{4x^3}}{{x^2}} + \frac{{5x^2}}{{x^2}} - \frac{{2x}}{{x^2}} + \frac{1}{{x^2}} = x^2 - 4x + 5 - \frac{{2}}{{x}} + \frac{{1}}{{x^2}}\]

4. Теперь у нас есть уравнение в форме \(x^2 - 4x + 5 - \frac{{2}}{{x}} + \frac{{1}}{{x^2}} = 1\), которое можно упростить до формы \(x^2 - 4x + 4 - \frac{{2}}{{x}} + \frac{{1}}{{x^2}} = 0\):

\[x^2 - 4x + 4 - \frac{{2}}{{x}} + \frac{{1}}{{x^2}} = 0\]

5. Мы заметим, что \(x^2 - 4x + 4\) является квадратным трехчленом \((x-2)^2\), а \(\frac{{2}}{{x}} - \frac{{1}}{{x^2}}\) можно представить в виде разности двух квадратов:

\(\frac{{2}}{{x}} - \frac{{1}}{{x^2}} = \frac{{2x - 1}}{{x^2}} = \frac{{(2x - 1)}}{{x^2}}\)

6. Подставим найденные выражения в уравнение:

\((x-2)^2 + \frac{{(2x - 1)}}{{x^2}} = 0\)

7. Теперь можно найти общий знаменатель для двух дробных членов:

\(\frac{{(x-2)^2 \cdot x^2 + (2x-1)}}{{x^2}} = 0\)

8. Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(\frac{{x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x - 1}}{{x^2}} = 0\)

9. Обратим внимание, что \(x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x - 1\) является кубическим уравнением \((x-1)^3\), поэтому:

\(\frac{{(x-1)^3}}{{x^2}} = 0\)

10. Теперь выражение равно нулю, когда числитель равен нулю:

\((x-1)^3 = 0\)

11. Найдем корень этого уравнения, возведя обе части в \(1/3\):

\[\sqrt[3]{{(x-1)^3}} = \sqrt[3]{{0}}\]

\(x-1 = 0\)

12. Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

\(x = 1\)

Итак, решение данного уравнения - \(x = 1\).

Я надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам понять, как было найдено решение уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.