Как найти решение уравнения [tex](4 sin ^{2}x - 1) sqrt{x^{2} - 64 pi ^{2} } = 0[/tex]?

Для начала, давайте разберемся с уравнением и определим возможные пути его решения. Уравнение, которое нам дано, это

\[(4 \sin ^{2}x - 1) \sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0\]

Для того чтобы понять, когда это уравнение равно нулю, необходимо разобраться, когда каждый из множителей равен нулю. Учитывая это, мы можем рассмотреть два случая:

1. Когда \((4 \sin ^{2}x - 1) = 0\)
2. Когда \(\sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0\)

Рассмотрим первый случай:

\((4 \sin ^{2}x - 1) = 0\)

Чтобы решить это уравнение, мы можем добавить 1 к обоим сторонам и затем поделить на 4:

\[4 \sin ^{2}x = 1\]
\[\sin ^{2}x = \frac{1}{4}\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[\sin x = \pm \frac{1}{2}\]

А так как мы ищем решения в промежутке от 0 до \(2\pi\), то нас интересуют только значения синуса, которые равны \(\frac{1}{2}\). Такими значениями являются \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{5\pi}{6}\).

Приступим ко второму случаю:

\(\sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0\)

Чтобы узнать, в каких случаях корень из выражения равен нулю, нам нужно решить следующее уравнение:

\[x^{2} - 64\pi ^{2} = 0\]

Мы можем добавить \(64\pi ^{2}\) к обеим сторонам уравнения:

\[x^{2} = 64\pi ^{2}\]

И затем извлечь квадратный корень:

\[x = \pm 8\pi\]

Теперь у нас есть три пути решения уравнения. Они представлены следующим образом:

1. \(x = \frac{\pi}{6}\)
2. \(x = \frac{5\pi}{6}\)
3. \(x = \pm 8\pi\)

Данные ответы представляют все возможные значения переменной \(x\) из уравнения \((4 \sin ^{2}x - 1) \sqrt{x^{2} - 64\pi ^{2} } = 0\).