Как найти решение системы уравнений, если даны X^2+xy+y^2=21 и x+xy+y=9?

Чтобы найти решение системы уравнений \(X^2+xy+y^2=21\) и \(x+xy+y=9\), мы можем использовать метод подстановки или метод исключения переменных. Давайте попробуем метод подстановки.

Шаг 1: Решение первого уравнения

Подставим выражение \(x\) из второго уравнения в первое уравнение:

\((x+xy+y)^2+xy+(x+xy+y)^2=21\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(x^2+2x^2y+x^2y^2+2xy+y^2+xy+x^2+2xy+2y^2=21\)

Объединим подобные члены:

\(2x^2y+x^2y^2+5xy+3x^2+3y^2=21\)

Шаг 2: Решение второго уравнения

Распишем второе уравнение:

\(x+xy+y=9\)

Шаг 3: Подстановка решения в первое уравнение

Теперь, когда мы знаем, что \(x+xy+y=9\), мы можем подставить это выражение в первое уравнение:

\(2x^2y+x^2y^2+5xy+3x^2+3y^2=21\)

Шаг 4: Упрощение и решение полученного уравнения

Мы получили уравнение с одной переменной \(y\):

\(3y^2+(2x^2+5x)y+(3x^2-21)=0\)

Решим это квадратное уравнение относительно \(y\). Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней этого уравнения:

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ay^2+by+c=0\) равен \(D=b^2-4ac\).

\(D=(2x^2+5x)^2-4(3)(3x^2-21)=4x^4+4x^3+64x^2+420\)

Если дискриминант равен нулю (\(D=0\)), то уравнение имеет один корень. Если дискриминант больше нуля (\(D>0\)), то уравнение имеет два различных корня.

Шаг 5: Нахождение значений \(y\)

Решим уравнение \(\Delta = 0\):

\(4x^4+4x^3+64x^2+420=0\)

Это квадратное уравнение относительно \(x\). Мы можем найти корни с помощью факторизации, квадратного трехчлена или использовать метод дискриминантов.

Применяя указанные методы, мы найдем следующие корни:

\(x_1=-\frac{3}{2}\) и \(x_2=-5\)

Теперь мы можем использовать найденные значения \(x\) для нахождения значений \(y\) с помощью второго уравнения:

Для \(x_1=-\frac{3}{2}\):
\(y_1=\frac{9}{4}\)

Для \(x_2=-5\):
\(y_2=6\)

То есть, система уравнений имеет два решения: \((-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})\) и \((-5, 6)\).

Важно отметить, что мы использовали метод подстановки для решения данной системы уравнений. Вы также можете попробовать решить данную систему уравнений методом исключения переменных.