Как найти предел (3х^2-17x+10)/(3x^2-16x+5)?

Чтобы найти предел функции \(\frac{{3x^2 - 17x + 10}}{{3x^2 - 16x + 5}}\), мы должны проанализировать, как функция ведет себя, когда аргумент \(x\) стремится к некоторому значению. Для этого сначала упростим выражение:

\[
\frac{{3x^2 - 17x + 10}}{{3x^2 - 16x + 5}} = \frac{{(3x - 2)(x - 5)}}{{(3x - 1)(x - 5)}}
\]

Заметим, что числитель и знаменатель имеют общий множитель \((x - 5)\), который можно сократить:

\[
\frac{{(3x - 2)\cancel{(x - 5)}}}{{(3x - 1)\cancel{(x - 5)}}} = \frac{{3x - 2}}{{3x - 1}}
\]

Теперь мы можем найти предел функции:

\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{{3x - 2}}{{3x - 1}}
\]

Чтобы найти предел, мы можем проанализировать поведение функции при стремлении \(x\) к бесконечности.

Для этого рассмотрим старшие слагаемые:
\(3x\) в числителе и в знаменателе. Бесконечно большие слагаемые будут иметь наибольший вклад в пределе.

Теперь разделим каждое слагаемое на \(x\) (как наибольший показатель степени):

\[
\frac{{3x - 2}}{{3x - 1}} = \frac{{\frac{{3x - 2}}{{x}}}}{{\frac{{3x - 1}}{{x}}}} = \frac{{3 - \frac{2}{{x}}}}{{3 - \frac{1}{{x}}}}
\]

Когда \(x\) стремится к бесконечности, значения \(\frac{2}{{x}}\) и \(\frac{1}{{x}}\) стремятся к \(0\). Поэтому функция будет стремиться к:

\[
\frac{{3 - 0}}{{3 - 0}} = \frac{3}{3} = 1
\]

Таким образом, предел функции \(\frac{{3x^2 - 17x + 10}}{{3x^2 - 16x + 5}}\) при \(x\), стремящемся к бесконечности, равен \(1\).