Как можно записать переменную хn=15n+2/5n-1 в виде суммы числа и бесконечно малой?

Когда речь идет о записи переменной в виде суммы числа и бесконечно малой, мы обычно используем средства математического анализа, такие как предел и бесконечно малые.

Давайте решим данную задачу. Мы хотим записать переменную \(x_n\) в виде суммы числа и бесконечно малой.

Итак, у нас есть \(x_n = \frac{15n+2}{5n-1}\).

Чтобы выразить \(x_n\) в виде суммы, мы можем разложить числитель и знаменатель на две составляющие. Фактически, мы можем разделить их на главные части и остатки.

Давайте начнём с числителя:

\[
15n+2 = 15n + \left(2 - \left(15n - \left(\frac{1}{5} \cdot (5n-1)\right)\right)\right)
\]

Далее мы можем поделить каждую составляющую на \(5n-1\):

\[
= 15n + \left(2 - \left(15n - \frac{1}{5}(5n-1)\right)\right) \cdot \frac{5n-1}{5n-1}
\]

Приведя подобные слагаемые в числителе, получаем:

\[
= 15n + \frac{2(5n-1) - (15n - 1)}{5n-1}
\]

Теперь мы можем преобразовать это выражение:

\[
= 15n + \frac{10n-2 - 15n + 1}{5n-1}
\]

Снова сокращаем подобные составляющие в числителе:

\[
= 15n + \frac{-5n-1}{5n-1}
\]

Теперь рассмотрим знаменатель:

\[
5n-1 = (5n-1) - (5n-1) + 1
\]

Мы можем преобразовать это выражение:

\[
= (5n-1) - (5n-1) + 1 \cdot \frac{5n-1}{5n-1}
\]

Сокращаем подобные слагаемые:

\[
= -1 + \frac{5n-1}{5n-1}
\]

Обратите внимание, что получившаяся дробь \(\frac{5n-1}{5n-1}\) является единицей.

Итак, теперь мы сможем записать переменную \(x_n\) в виде суммы числа и бесконечно малой:

\[
x_n = \frac{15n + \frac{-5n-1}{5n-1}}{5n-1}
\]

Однако, чтобы выразить некоторую часть этого выражения в виде бесконечно малой, нам нужно проанализировать поведение выражения при \(n \to \infty\).

Для этого найдём предел выражения при \(n \to \infty\):

\[
\lim_{{n \to \infty}} x_n = \lim_{{n \to \infty}} \frac{15n + \frac{-5n-1}{5n-1}}{5n-1}
\]

Мы видим, что коэффициенты \(n\) в числителе и знаменателе равны 15 и 5 соответственно, и при \(n \to \infty\) эти коэффициенты играют главную роль.

Таким образом, предел выражения примет вид:

\[
\lim_{{n \to \infty}} x_n = \lim_{{n \to \infty}} \frac{15n + \frac{-5n-1}{5n-1}}{5n-1} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{15n}{5n} = \frac{15}{5} = 3
\]

Таким образом, мы можем записать переменную \(x_n\) в виде суммы числа и бесконечно малой:

\[
x_n = 3 + o(1) \quad \text{при} \quad n \to \infty
\]

Где \(o(1)\) представляет собой бесконечно малую. В данном случае \(o(1)\) описывает то, каким образом \(x_n\) стремится к 3 при \(n \to \infty\).

Надеюсь, ответ был понятным и подробным для вас. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!