Как можно представить двучлен 36x^4-108x^2y+81y^2 в виде квадрата?

Для того чтобы представить данное двучленное выражение в виде квадрата, нам необходимо найти такое выражение, которое можно будет записать в виде \((ax^2 + by)^2\). Давайте сначала разложим двучлен на части:

\[36x^4 - 108x^2y + 81y^2\]

Заметим, что первый и последний члены этого выражения являются квадратами:

\[36x^4 = (6x^2)^2\]
\[81y^2 = (9y)^2\]

Теперь давайте поищем такое выражение, которое даст нам средний член \(-108x^2y\), когда мы возведем его в квадрат. Воспользуемся формулой для квадрата суммы двух слагаемых:

\[(ax + by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2\]

Чтобы получить средний член \(-108x^2y\), нам нужно, чтобы \(2abxy = -108x^2y\). Отсюда видно, что \(2ab = -108\) и \(b^2 = x^2\).

Найдем такие значения \(a\) и \(b\):
\[2ab = -108 \Rightarrow ab = -54\]
\[b^2 = x^2 \Rightarrow b = \pm x\]

Мы можем выбрать \(a = -6\) и \(b = x\) или \(a = 6\) и \(b = -x\), потому что при замене одного знака на противоположный, оба \(ab\) и \(b^2\) сохранят свое значение. Давайте проверим оба варианта:

1. \(a = -6\) и \(b = x\):
\((-6x + xy)^2 = 36x^2 - 12x^2y + x^2y^2\)

2. \(a = 6\) и \(b = -x\):
\((6x - xy)^2 = 36x^2 - 12x^2y + x^2y^2\)

Как видите, оба варианта дают нам одинаковый средний член \(-108x^2y\). Таким образом, двучлен \(36x^4 - 108x^2y + 81y^2\) можно записать в виде квадрата:

\[(6x - xy)^2\]

или

\((-6x + xy)^2\)

Надеюсь, это объяснение понятно и полезно для вас! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.