Как можно представить двучлен 36x^4-108x^2y+81y^2 в виде квадрата?

Question

Алгебра: Как можно представить двучлен 36x^4-108x^2y+81y^2 в виде квадрата?

Yaksob · Accepted Answer

Для того чтобы представить данное двучленное выражение в виде квадрата, нам необходимо найти такое выражение, которое можно будет записать в виде

(a x^{2} + b y)^{2}

. Давайте сначала разложим двучлен на части:

36 x^{4} - 108 x^{2} y + 81 y^{2}

Заметим, что первый и последний члены этого выражения являются квадратами:

36 x^{4} = (6 x^{2})^{2}

81 y^{2} = (9 y)^{2}

Теперь давайте поищем такое выражение, которое даст нам средний член

- 108 x^{2} y

, когда мы возведем его в квадрат. Воспользуемся формулой для квадрата суммы двух слагаемых:

(a x + b y)^{2} = a^{2} x^{2} + 2 a b x y + b^{2} y^{2}

Чтобы получить средний член

- 108 x^{2} y

, нам нужно, чтобы

2 a b x y = - 108 x^{2} y

. Отсюда видно, что

2 a b = - 108

и

b^{2} = x^{2}

.

Найдем такие значения

a

и

b

:

2 a b = - 108 \Rightarrow a b = - 54

b^{2} = x^{2} \Rightarrow b = \pm x

Мы можем выбрать

a = - 6

и

b = x

или

a = 6

и

b = - x

, потому что при замене одного знака на противоположный, оба

a b

и

b^{2}

сохранят свое значение. Давайте проверим оба варианта:

1.

a = - 6

и

b = x

:

(- 6 x + x y)^{2} = 36 x^{2} - 12 x^{2} y + x^{2} y^{2}

2.

a = 6

и

b = - x

:

(6 x - x y)^{2} = 36 x^{2} - 12 x^{2} y + x^{2} y^{2}

Как видите, оба варианта дают нам одинаковый средний член

- 108 x^{2} y

. Таким образом, двучлен

36 x^{4} - 108 x^{2} y + 81 y^{2}

можно записать в виде квадрата:

(6 x - x y)^{2}

или

(- 6 x + x y)^{2}

Надеюсь, это объяснение понятно и полезно для вас! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.