Когда значение параметра а соответствует каким условиям корни уравнения x²-4ax+4a²-a-10=0 будут меньше?

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться дискриминантом уравнения. Дискриминант определяет, какие типы корней у уравнения: действительные, мнимые или равные.

Уравнение x²-4ax+4a²-a-10=0 имеет вид квадратного трёхчлена, где a - параметр.

Для определения условий, при которых корни уравнения будут меньше, мы должны найти значения параметра a, при которых дискриминант D будет положительным. Это означает, что уравнение будет иметь два действительных корня.

Дискриминант D вычисляется по формуле: D = b² - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В нашем случае a = 1, b = -4a и c = 4a²-a-10.

Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта:
D = (-4a)² - 4*(1)*(4a²-a-10)
D = 16a² - 16(4a²-a-10)
D = 16a² - 64a² + 16a + 160
D = -48a² + 16a + 160

Теперь условие на дискриминант D > 0, чтобы получить два действительных корня.

-48a² + 16a + 160 > 0

Для упрощения этого неравенства, мы можем разделить все его члены на 16:
-3a² + a + 10 > 0

Теперь найдём корни этого неравенства, используя метод интервалов знакопостоянства.

1. Найдём точки, в которых неравенство обращается в ноль:
-3a² + a + 10 = 0

Можно решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
D = b² - 4ac = 1² - 4*(-3)*10 = 121

Так как дискриминант D > 0, у нас есть два действительных корня.
a₁ = (-1 + sqrt(D)) / (2*(-3)) = (-1 + sqrt(121)) / (-6) = (-1 + 11) / (-6) = 10 / (-6) = -5/3
a₂ = (-1 - sqrt(D)) / (2*(-3)) = (-1 - sqrt(121)) / (-6) = (-1 - 11) / (-6) = -12 / (-6) = 2

2. Разделим область между этими точками на три интервала и выберем тестовую точку из каждого интервала:

Интервал 1: (-∞, -5/3)
Тестовая точка: a = -2

Подставим значение a = -2 в неравенство:
-3*(-2)² + (-2) + 10 = -12 + (-2) + 10 = -4 > 0

Неравенство выполняется в интервале (-∞, -5/3).

Интервал 2: (-5/3, 2)
Тестовая точка: a = 0

Подставим значение a = 0 в неравенство:
-3*(0)² + (0) + 10 = 10 > 0

Неравенство выполняется в интервале (-5/3, 2).

Интервал 3: (2, ∞)
Тестовая точка: a = 3

Подставим значение a = 3 в неравенство:
-3*(3)² + (3) + 10 = -27 + 3 + 10 = -14 < 0

Неравенство не выполняется в интервале (2, ∞).

Таким образом, получаем, что корни уравнения будут меньше, когда параметр a принадлежит интервалу (-∞, -5/3) или интервалу (-5/3, 2).

Итак, корни уравнения x²-4ax+4a²-a-10=0 будут меньше, когда параметр a принадлежит интервалам (-∞, -5/3) или (-5/3, 2).