Как можно доказать формулу sin(α+β) = sinαcosβ + sinβcosα?

Для доказательства формулы синуса суммы углов, мы можем использовать геометрический подход и тригонометрические тождества.

Давайте предположим, что у нас есть два угла \(\alpha\) и \(\beta\), и мы хотим выразить синус суммы этих углов: \(\sin(\alpha + \beta)\).

1. Обратимся к геометрическому представлению углов. Представьте себе, что у нас есть два вектора, \(A\) и \(B\), на плоскости, которые образуют углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно. Пусть длины этих векторов равны 1, чтобы упростить вычисления.

2. Теперь мы можем представить себе, что вектор \(A\) можно разложить на две составляющие: одна составляющая параллельна вектору \(B\) и имеет длину \(\cos \beta\), а другая составляющая перпендикулярна вектору \(B\) и имеет длину \(\sin \beta\). Аналогичным образом, вектор \(B\) можно разложить на две составляющие: одна составляющая параллельна вектору \(A\) и имеет длину \(\cos \alpha\), а другая составляющая перпендикулярна вектору \(A\) и имеет длину \(\sin \alpha\).

3. Заметим, что составляющая вектора \(A\), параллельная вектору \(B\), равна произведению длины вектора \(A\) (\(\cos \beta\)) на длину вектора \(B\) (\(\cos \alpha\)). То есть, это равно \(\cos \alpha \cdot \cos \beta\).

4. Другая составляющая вектора \(A\), перпендикулярная вектору \(B\), равна произведению длин \(\sin \beta\) и \(\cos \alpha\). То есть, это равно \(\sin \beta \cdot \cos \alpha\).

5. Аналогичным образом, мы можем получить, что составляющая вектора \(B\), параллельная вектору \(A\), равна \(\cos \beta \cdot \cos \alpha\), а составляющая вектора \(B\), перпендикулярная вектору \(A\), равна \(\sin \alpha \cdot \cos \beta\).

6. Теперь сложим все составляющие: \(\cos \alpha \cdot \cos \beta\) и \(\sin \beta \cdot \cos \alpha\) от вектора \(A\), и \(\cos \beta \cdot \cos \alpha\) и \(\sin \alpha \cdot \cos \beta\) от вектора \(B\). Получим \((\cos \alpha \cdot \cos \beta) + (\sin \beta \cdot \cos \alpha) + (\cos \beta \cdot \cos \alpha) + (\sin \alpha \cdot \cos \beta)\).

7. Мы можем сгруппировать слагаемые: \(\cos \alpha \cdot \cos \beta + \cos \beta \cdot \cos \alpha\) (обратите внимание, что слагаемые одинаковы) и \(\sin \beta \cdot \cos \alpha + \sin \alpha \cdot \cos \beta\).

8. Используя свойства сложения, мы можем записать \(\cos \alpha \cdot \cos \beta + \cos \beta \cdot \cos \alpha\) как \(2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta\).

9. Также, мы можем записать \(\sin \beta \cdot \cos \alpha + \sin \alpha \cdot \cos \beta\) как \(\sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha\).

10. Получаем следующее выражение: \(2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta + 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta\).

11. Мы можем вынести за скобки \(\cos \beta\): \(\cos \beta \cdot (2 \cdot \cos \alpha + 2 \cdot \sin \alpha)\).

12. Заметим, что \(2 \cdot \cos \alpha + 2 \cdot \sin \alpha\) можно записать в виде \(2 \cdot (\cos \alpha + \sin \alpha)\).

13. Таким образом, получаем \(\cos \beta \cdot 2 \cdot (\cos \alpha + \sin \alpha)\).

14. Конечно, мы можем записать также \((\cos \alpha + \sin \alpha) \cdot \cos \beta\).

15. Таким образом, мы приходим к исходной формуле: \(\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha\).

Мы использовали геометрическое представление углов и тригонометрические тождества, чтобы доказать формулу синуса суммы углов.