Изучите монотонность и экстремумы функции y=x-1/3(2+7x)^6/7, а также найдите наибольшие и наименьшие значения функции на интервале (15, +∞).
Lyalya
Чтобы изучить монотонность функции и найти экстремумы, нам необходимо проанализировать производную функции. В данном случае, функцию \(y = x - \frac{1}{3}(2+7x)^{\frac{6}{7}}\) мы можем записать через производные следующим образом:
\[y" = 1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} \cdot (2+7x)^{\frac{6}{7}-1} \cdot 7\]
\[y" = 1 - \frac{2}{7} \cdot (2+7x)^{-\frac{1}{7}}\]
Теперь, чтобы найти интервалы монотонности, мы должны решить неравенство \(y" > 0\) (для возрастания) и \(y" < 0\) (для убывания):
\[1 - \frac{2}{7} \cdot (2+7x)^{-\frac{1}{7}} > 0\]
Давайте решим это неравенство:
\[1 > \frac{2}{7} \cdot (2+7x)^{-\frac{1}{7}}\]
Умножим обе части неравенства на \((2+7x)^{\frac{1}{7}}\):
\[(2+7x)^{\frac{1}{7}} > \frac{2}{7}\]
Возводим обе части неравенства в седьмую степень:
\[2+7x > \left(\frac{2}{7}\right)^7\]
\[\frac{1024}{2401} + 7x > \frac{128}{2401}\]
Теперь выразим \(x\):
\[7x > \frac{128}{2401} - \frac{1024}{2401}\]
\[7x > -\frac{896}{2401}\]
\[x > -\frac{128}{343}\]
Таким образом, функция возрастает на интервале \(\left(-\frac{128}{343}, +\infty\right)\).
Теперь найдем экстремумы функции, используя вторую производную. Возьмем производную от \(y"\):
\[y"" = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot (2+7x)^{-\frac{8}{7}} \cdot 7\]
\[y"" = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{(2+7x)^{\frac{8}{7}}}\]
Исследуем знак второй производной. Для экстремумов функции должно выполняться условие \(y"" = 0\) или \(y""\) не существует. Найдем точки, где \(y"" = 0\):
\[\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{(2+7x)^{\frac{8}{7}}} = 0\]
Уравнение \(y"" = 0\) не имеет решений.
Теперь исследуем знак второй производной на интервалах, не содержащих точек разрыва или других особых точек. В нашем случае, интервал \((-\frac{128}{343}, +\infty)\) не содержит таких точек.
Так как \(y""\) является положительной константой, то функция не имеет экстремумов на данном интервале.
Наконец, найдем наибольшее и наименьшее значение функции на интервале \((-\frac{128}{343}, +\infty)\). Для этого найдем пределы функции, когда \(x\) стремится к бесконечности:
\[\lim_{{x \to +\infty}} y = \lim_{{x \to +\infty}} x - \frac{1}{3}(2+7x)^{\frac{6}{7}}\]
При \(x\) стремящемся к бесконечности, можно проигнорировать все слагаемые, содержащие \(x\), кроме \(x\), так как они будут иметь незначительное влияние на функцию.
\[\lim_{{x \to +\infty}} x = +\infty\]
Таким образом, наибольшее значение функции на интервале \((-\frac{128}{343}, +\infty)\) не существует.
Для нахождения наименьшего значения функции, найдем предел функции, когда \(x\) стремится к \(-\frac{128}{343}\):
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = \lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} x - \frac{1}{3}(2+7x)^{\frac{6}{7}}\]
Аналогично, можно проигнорировать все слагаемые, содержащие \(x\), кроме \(x\):
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} x = -\frac{128}{343}\]
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = -\frac{128}{343} - \frac{1}{3}(2+7 \cdot (-\frac{128}{343}))^{\frac{6}{7}}\]
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = -\frac{128}{343} - \frac{1}{3}(2-\frac{896}{343})^{\frac{6}{7}}\]
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = -\frac{128}{343} - \frac{1}{3}(\frac{700}{343})^{\frac{6}{7}}\]
Сократим дроби в пределе:
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = -\frac{128}{343} - \frac{1}{3}(\frac{100}{49})^{\frac{6}{7}}\]
Приведем к общему знаменателю:
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = -\frac{128}{343} - \frac{343}{1029}(\frac{100}{49})^{\frac{6}{7}}\]
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = -\frac{128}{343} - \frac{100}{147}(\frac{100}{49})^{\frac{6}{7}}\]
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y \approx -0.3721\]
Таким образом, наименьшее значение функции на интервале \((-\frac{128}{343}, +\infty)\) приближенно равно \(y \approx -0.3721\).
В итоге, монотонность функции \(y = x - \frac{1}{3}(2+7x)^{\frac{6}{7}}\) состоит в возрастании на интервале \(\left(-\frac{128}{343}, +\infty\right)\), а наибольшее значение функции не существует, а наименьшее значение приближенно равно \(y \approx -0.3721\) на данном интервале.
\[y" = 1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} \cdot (2+7x)^{\frac{6}{7}-1} \cdot 7\]
\[y" = 1 - \frac{2}{7} \cdot (2+7x)^{-\frac{1}{7}}\]
Теперь, чтобы найти интервалы монотонности, мы должны решить неравенство \(y" > 0\) (для возрастания) и \(y" < 0\) (для убывания):
\[1 - \frac{2}{7} \cdot (2+7x)^{-\frac{1}{7}} > 0\]
Давайте решим это неравенство:
\[1 > \frac{2}{7} \cdot (2+7x)^{-\frac{1}{7}}\]
Умножим обе части неравенства на \((2+7x)^{\frac{1}{7}}\):
\[(2+7x)^{\frac{1}{7}} > \frac{2}{7}\]
Возводим обе части неравенства в седьмую степень:
\[2+7x > \left(\frac{2}{7}\right)^7\]
\[\frac{1024}{2401} + 7x > \frac{128}{2401}\]
Теперь выразим \(x\):
\[7x > \frac{128}{2401} - \frac{1024}{2401}\]
\[7x > -\frac{896}{2401}\]
\[x > -\frac{128}{343}\]
Таким образом, функция возрастает на интервале \(\left(-\frac{128}{343}, +\infty\right)\).
Теперь найдем экстремумы функции, используя вторую производную. Возьмем производную от \(y"\):
\[y"" = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot (2+7x)^{-\frac{8}{7}} \cdot 7\]
\[y"" = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{(2+7x)^{\frac{8}{7}}}\]
Исследуем знак второй производной. Для экстремумов функции должно выполняться условие \(y"" = 0\) или \(y""\) не существует. Найдем точки, где \(y"" = 0\):
\[\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{(2+7x)^{\frac{8}{7}}} = 0\]
Уравнение \(y"" = 0\) не имеет решений.
Теперь исследуем знак второй производной на интервалах, не содержащих точек разрыва или других особых точек. В нашем случае, интервал \((-\frac{128}{343}, +\infty)\) не содержит таких точек.
Так как \(y""\) является положительной константой, то функция не имеет экстремумов на данном интервале.
Наконец, найдем наибольшее и наименьшее значение функции на интервале \((-\frac{128}{343}, +\infty)\). Для этого найдем пределы функции, когда \(x\) стремится к бесконечности:
\[\lim_{{x \to +\infty}} y = \lim_{{x \to +\infty}} x - \frac{1}{3}(2+7x)^{\frac{6}{7}}\]
При \(x\) стремящемся к бесконечности, можно проигнорировать все слагаемые, содержащие \(x\), кроме \(x\), так как они будут иметь незначительное влияние на функцию.
\[\lim_{{x \to +\infty}} x = +\infty\]
Таким образом, наибольшее значение функции на интервале \((-\frac{128}{343}, +\infty)\) не существует.
Для нахождения наименьшего значения функции, найдем предел функции, когда \(x\) стремится к \(-\frac{128}{343}\):
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = \lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} x - \frac{1}{3}(2+7x)^{\frac{6}{7}}\]
Аналогично, можно проигнорировать все слагаемые, содержащие \(x\), кроме \(x\):
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} x = -\frac{128}{343}\]
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = -\frac{128}{343} - \frac{1}{3}(2+7 \cdot (-\frac{128}{343}))^{\frac{6}{7}}\]
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = -\frac{128}{343} - \frac{1}{3}(2-\frac{896}{343})^{\frac{6}{7}}\]
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = -\frac{128}{343} - \frac{1}{3}(\frac{700}{343})^{\frac{6}{7}}\]
Сократим дроби в пределе:
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = -\frac{128}{343} - \frac{1}{3}(\frac{100}{49})^{\frac{6}{7}}\]
Приведем к общему знаменателю:
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = -\frac{128}{343} - \frac{343}{1029}(\frac{100}{49})^{\frac{6}{7}}\]
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y = -\frac{128}{343} - \frac{100}{147}(\frac{100}{49})^{\frac{6}{7}}\]
\[\lim_{{x \to -\frac{128}{343}}} y \approx -0.3721\]
Таким образом, наименьшее значение функции на интервале \((-\frac{128}{343}, +\infty)\) приближенно равно \(y \approx -0.3721\).
В итоге, монотонность функции \(y = x - \frac{1}{3}(2+7x)^{\frac{6}{7}}\) состоит в возрастании на интервале \(\left(-\frac{128}{343}, +\infty\right)\), а наибольшее значение функции не существует, а наименьшее значение приближенно равно \(y \approx -0.3721\) на данном интервале.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
