Які значення x викликають критичні точки у функції y=x(x-4)^3?

Чтобы найти критические точки функции \(y = x(x-4)^3\), мы должны найти значения \(x\), при которых первая производная функции равна нулю или не существует. Критическая точка может быть экстремумом функции, то есть максимумом или минимумом, или это может быть точка перегиба функции.

Для начала, давайте найдем первую производную функции \(y = x(x-4)^3\). Чтобы сделать это, мы воспользуемся правилом производной произведения функций.

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = x \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x-4)^3 + (x-4)^3 \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x)
\]

Сначала рассмотрим первое слагаемое. Применяя цепное правило, мы получаем:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(x-4)^3 = 3(x-4)^2 \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x-4) = 3(x-4)^2 \cdot 1 = 3(x-4)^2
\]

Теперь рассмотрим второе слагаемое. Производная \(x\) по отношению к \(x\) равна 1:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(x) = 1
\]

Теперь мы можем записать первую производную функции в полном виде:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = x \cdot 3(x-4)^2 + (x-4)^3 \cdot 1 = 3x(x-4)^2 + (x-4)^3
\]

Чтобы найти значения \(x\), при которых первая производная равна нулю или не существует, нам нужно решить уравнение:

\[
3x(x-4)^2 + (x-4)^3 = 0
\]

Давайте решим это уравнение:

\[
(x-4)^2(3x + (x-4)) = 0
\]

Теперь мы можем решить два уравнения:

\[
x - 4 = 0 \quad \text{или} \quad 3x + (x-4) = 0
\]

Сначала рассмотрим первое уравнение. Если \(x - 4 = 0\), то \(x = 4\). Это одно из значений \(x\), при котором у нас есть критическая точка.

Теперь рассмотрим второе уравнение. Раскроем скобки и решим уравнение:

\[
3x + x - 4 = 0
\]

Упрощая, получим:

\[
4x - 4 = 0
\]

Решая это уравнение, мы получаем:

\[
4x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

Также \(x = 1\) является значением \(x\), при котором у нас есть критическая точка.

Итак, критические точки функции \(y = x(x-4)^3\) находятся при \(x = 4\) и \(x = 1\).