Графически представьте систему уравнений xy=8 и y-x=2 и определите их пересечение

Хорошо, давайте решим эту систему уравнений шаг за шагом, чтобы быть уверенными в ответе.

У нас есть два уравнения:

1) \(xy = 8\)
2) \(y - x = 2\)

Для начала, давайте решим второе уравнение относительно \(y\). Добавим \(x\) к обеим сторонам уравнения:

\(y = x + 2\)

Теперь мы можем заменить \(y\) в первом уравнении на \(x + 2\):

\(x(x + 2) = 8\)

Раскрываем скобки:

\(x^2 + 2x = 8\)

Приводим уравнение к квадратному виду:

\(x^2 + 2x - 8 = 0\)

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать либо факторизацию, либо квадратное уравнение. Я воспользуюсь формулой дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

В данном случае, \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = -8\):

\(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)

Теперь, найдем значение \(x\) с помощью формулы квадратного уравнения:

\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-2 \pm \sqrt{36}}}{{2}}\)

\(x = \frac{{-2 \pm 6}}{{2}}\)

Раскроем скобки:

\(x_1 = \frac{{-2 + 6}}{{2}} = \frac{{4}}{{2}} = 2\)

\(x_2 = \frac{{-2 - 6}}{{2}} = \frac{{-8}}{{2}} = -4\)

Теперь, найдем значение \(y\) для каждого значения \(x\). Подставим \(x_1 = 2\) во второе уравнение:

\(y - 2 = 2\)

\(y = 2 + 2 = 4\)

Подставим \(x_2 = -4\) во второе уравнение:

\(y - (-4) = 2\)

\(y = 2 - 4 = -2\)

Получили две пары значений для \(x\) и \(y\):

Первая пара: \(x_1 = 2\) и \(y_1 = 4\)

Вторая пара: \(x_2 = -4\) и \(y_2 = -2\)

Чтобы нарисовать график системы уравнений, мы должны построить графики каждого уравнения на координатной плоскости и найти точку их пересечения. На графике получим две точки: (2, 4) и (-4, -2), которые соответствуют решениям системы уравнений.

Графическое представление системы уравнений xy=8 и y-x=2 будет выглядеть так:
\[
\begin{align*}
\text{График уравнения } xy = 8 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
2 & 4 \\
-4 & -2 \\
\end{array}
\]

Синий цвет будет указывать на график \(xy = 8\), а точки (2, 4) и (-4, -2) будут находиться на этом графике.

Ориентируясь на график \(y - x = 2\), мы видим, что точки пересечения с графиком \(xy = 8\) в точках (2, 4) и (-4, -2).

Надеюсь, этот ответ был понятным и подробным! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!