Сколько страниц содержится в одном томе пятитомного справочника, если в каждом томе содержится одинаковое количество

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть \(x\) - количество страниц в каждом томе. Так как в каждом томе содержится одинаковое количество страниц, то каждый том содержит \(x\) страниц.

У нас пять томов, поэтому общее количество страниц будет равно \(5x\).

Согласно условию задачи, сумма номеров всех первых и последних страниц составляет 8505. Нумерация страниц начинается с 1.

Первый том содержит страницы с номерами от 1 до \(x\), а последний том - с номерами от \(4x+1\) до \(5x\).

Сумма номеров первых страниц равна сумме чисел от 1 до \(x\), что можно записать следующим образом: \(\frac{x(x+1)}{2}\).

Сумма номеров последних страниц равна сумме чисел от \(4x+1\) до \(5x\), что можно записать следующим образом: \(\frac{(4x+1+5x)(5x-4x)}{2} = \frac{(9x+1)(x)}{2}\).

Исходя из условия задачи, сумма номеров первых и последних страниц равна 8505:

\(\frac{x(x+1)}{2} + \frac{(9x+1)(x)}{2} = 8505\).

Упростим это уравнение:

\(\frac{x^2 + x}{2} + \frac{9x^2 + x}{2} = 8505\).

Приведем подобные члены:

\(\frac{10x^2 + 2x}{2} = 8505\).

Домножим обе части уравнения на 2 для избавления от дробей:

\(10x^2 + 2x = 2 \cdot 8505\).

\(10x^2 + 2x = 17010\).

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

\(10x^2 + 2x - 17010 = 0\).

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение.

Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти значения \(x\):

\[D = b^2 - 4ac\],

где \(a = 10\), \(b = 2\), \(c = -17010\).

\[D = (2)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-17010) = 4 + 680400 = 680404\].

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{680404}}{2 \cdot 10}\].

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{680404}}{2 \cdot 10}\].

Вычисляя значения \(x_1\) и \(x_2\), получаем:

\[x_1 \approx 53.75\].

\[x_2 \approx -31.75\].

Так как количество страниц не может быть отрицательным, мы выбираем положительное значение \(x_1\).

Таким образом, каждый том содержит приблизительно 54 страницы, а общее количество страниц в пятитомном справочнике равно \(5 \cdot 54 = 270\) страницам.