Какие условия особенностей функции f(x) гарантируют, что f(x) больше нуля или меньше нуля?

Чтобы определить, когда функция \( f(x) \) больше нуля или меньше нуля, нужно обратить внимание на две основные особенности функций: знак функции и точки пересечения с осью \( x \).

1. Знак функции:
Если функция \( f(x) \) положительна для всех значений \( x \) в заданном интервале, то это значит, что для каждого \( x \) в данном интервале \( f(x) > 0 \). Это условие будет выполнено, если значение функции на заданном интервале всегда больше нуля.

2. Точки пересечения с осью \( x \):
Если функция \( f(x) \) имеет корни, то есть значения \( x \), для которых \( f(x) = 0 \), то знак функции меняется на противоположный стороне каждого корня. Если \( f(x) \) меняет знак от положительного к отрицательному при переходе через корень, то это значит, что функция \( f(x) \) отрицательна в этом интервале. Если \( f(x) \) меняет знак отрицательного к положительному при переходе через корень, то это значит, что функция \( f(x) \) положительна в этом интервале.

Например, если функция \( f(x) \) представлена в виде \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \), чтобы определить интервалы, в которых функция больше нуля или меньше нуля, следует выполнить следующие шаги:

1. Найти все точки пересечения функции с осью \( x \) путем решения уравнения \( f(x) = 0 \). В данном случае, решим уравнение \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).

Найдём корни этого уравнения:

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \]

\[ x = 1, x = 3 \]

2. Установить знак функции в каждом интервале, созданном найденными корнями. Мы имеем следующие интервалы: \((-\infty, 1)\), \((1, 3)\) и \((3, +\infty)\).

- В интервале \((-\infty, 1)\) подставим \( x = 0 \), например: \( f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3 \). Таким образом, значение функции больше нуля, и мы можем заключить, что функция \( f(x) \) положительна в этом интервале.
- В интервале \((1, 3)\) подставим \( x = 2 \), например: \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1 \). Значение функции меньше нуля, поэтому функция \( f(x) \) отрицательна в этом интервале.
- В интервале \((3, +\infty)\) подставим \( x = 4 \), например: \( f(4) = (4)^2 - 4(4) + 3 = 7 \). Значение функции больше нуля, поэтому функция \( f(x) \) положительна в этом интервале.

Таким образом, наша функция \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) положительна в интервалах \((-\infty, 1)\) и \((3, +\infty)\), а отрицательна в интервале \((1, 3)\).

Данное объяснение является пошаговым и подробным, помогая ученикам понимать, как определить знак функции с использованием корней и интервалов.