Как можно доказать, что число а делится на m , если а представляется в виде 5*2^51+21*32^45 , а m равно 31? Пожалуйста

Хорошо, давайте решим задачу.

У нас есть число \(a\), представленное в виде \(5 \cdot 2^{51} + 21 \cdot 32^{45}\), и нам нужно доказать, что оно делится на число \(m = 31\).

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся основным свойством остатка от деления: если \(a\) делится на \(m\), то остаток от деления числа \(a\) на \(m\) будет равен нулю.

Поэтому докажем, что \(a\) и \(m\) дают остаток 0 при делении. Для этого мы разделим \(a\) на \(m\) и проверим остаток.

Разделим \(a\) на \(m\):
\[
\frac{{5 \cdot 2^{51} + 21 \cdot 32^{45}}}{{31}}
\]

Выполним деление первого слагаемого:
\[
\frac{{5 \cdot 2^{51}}}{{31}}
\]

Мы можем упростить выражение с помощью правила для деления с остатком. Разделим \(2^{51}\) на 31:

\[
2^{51} = 2^{49+2} = (2^{49} \cdot 2^2) = (2^{49} \cdot 4)
\]

Теперь вернемся к исходному выражению:
\[
\frac{{5 \cdot 2^{51}}}{{31}} = \frac{{5 \cdot (2^{49} \cdot 4)}}{{31}} = \frac{{20 \cdot 2^{49}}}{{31}}
\]

Выполним деление второго слагаемого:
\[
\frac{{21 \cdot 32^{45}}}{{31}}
\]

Для упрощения выражения, разделим \(32^{45}\) на 31:
\[
32^{45} = (31+1)^{45} = \sum_{k=0}^{45} \binom{45}{k} \cdot 31^{k} \cdot 1^{45-k}
\]

Однако, все слагаемые в этой сумме, кроме первого, будут делиться на 31 без остатка, так как они содержат множитель \(31^k\), где \(k > 0\). Поэтому они не влияют на остаток от деления и мы можем проигнорировать их.
Тогда:
\[
\frac{{21 \cdot 32^{45}}}{{31}} = \frac{{21 \cdot 31 + 21}}{{31}} = \frac{{651 + 21}}{{31}} = \frac{{672}}{{31}}
\]

Теперь применим теорему о деления с остатком для остатка последнего выражения:
\[
\frac{{672}}{{31}} = 21 \cdot 31 + 21
\]

Как видно, остаток равен нулю, что означает, что \(a\) делится на \(m\).

Таким образом, мы доказали, что если \(a = 5 \cdot 2^{51} + 21 \cdot 32^{45}\) и \(m = 31\), то число \(a\) делится на \(m\).